数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列とその演算 - 逆行列(2×2行列、整数成分の行列の逆行列が整数成分の行列となるための必要十分条件)

数学読本〈5〉

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  • Pythonからはじめる数学入門
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数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.1(行列とその演算)、逆行列、問23.を取り組んでみる。

23. 
    

    行列 A の逆行列は、

    $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array})$

    これが整数成分行列ならば、

    $\frac{a}{ad-bc}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{d}{ad-bc}-\frac{-b}{ad-bc}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{-c}{ad-bc}$

    は整数となる。

    よって、

    $\frac{ad-bc}{{\left(ad-bc\right)}^2}=\frac{1}{ad-bc}$

    が整数となるので、

    $ad-bc=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->1$

    でなければならない。

    逆に、

    $ad-bc=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->1$

    ならば、

    $A^{-1}$

    は明らかに整数成分の行列である。

    （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, Rational

a, b, c, d = symbols('a, b, c, d', integer=True)
A = Matrix([[a, b],
            [c, d]])

for t in [A, A.inv()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample23.py
⎡a  b⎤
⎢    ⎥
⎣c  d⎦

⎡    d         -b    ⎤
⎢─────────  ─────────⎥
⎢a⋅d - b⋅c  a⋅d - b⋅c⎥
⎢                    ⎥
⎢   -c          a    ⎥
⎢─────────  ─────────⎥
⎣a⋅d - b⋅c  a⋅d - b⋅c⎦

$