2017年12月2日土曜日

学習環境

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう1つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.1(行列とその演算)、逆行列、問23.を取り組んでみる。


  1. 行列 A の逆行列は、

    A - 1 = 1 a d - b c ( d - b - c a )

    これが整数成分行列ならば、

    a a d - b c · d a d - b c - - b a d - b c · - c a d - b c

    は整数となる。

    よって、

    a d - b c a d - b c 2 = 1 a d - b c

    が整数となるので、

    a d - b c = ± 1

    でなければならない。

    逆に、

    a d - b c = ± 1

    ならば、

    A - 1

    は明らかに整数成分の行列である。

    (証明終)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, Rational

a, b, c, d = symbols('a, b, c, d', integer=True)
A = Matrix([[a, b],
            [c, d]])

for t in [A, A.inv()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample23.py
⎡a  b⎤
⎢    ⎥
⎣c  d⎦

⎡    d         -b    ⎤
⎢─────────  ─────────⎥
⎢a⋅d - b⋅c  a⋅d - b⋅c⎥
⎢                    ⎥
⎢   -c          a    ⎥
⎢─────────  ─────────⎥
⎣a⋅d - b⋅c  a⋅d - b⋅c⎦

$

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