数学 - 解析学 - 距離空間の位相 - 連結性(完全不連結、実数空間、部分空間、有理数、無理数)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.3(連結性)、問題5.を取り組んでみる。

5. 
   
   ${\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}}_0$

   を 有理数を2つ以上含む有理数の部分集合とする。

   2点 a、 b を

   $a,b\in \; <!--\; element\; of\; -->{\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}}_0,a<b$

   とする。

   c を、

   $a<c<b$

   を満たす無理数とする。

   また、 集合 A、 B を

   $A=X\cap \; <!--\; intersection\; -->\left(-\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->},a\right),B=X\cap \; <!--\; intersection\; -->\left(b,\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\right)$

   とする と、 A、 B は空でない開集合で、 A と B の共通部分は空集合である。

   ${\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}}_0=A\cup \; <!--\; union\; -->B,A\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->},B+\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->},A\cap \; <!--\; intersection\; -->B=\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->},A,B\in \; <!--\; element\; of\; -->O$

   よって、実数距離空間の有理数の2点以上から成る部分集合はすべて連結ではないので、、部分空間有理 数は完全不連結である。