2017年12月1日金曜日

学習環境

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう1つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.1(行列とその演算)、逆行列、問22.を取り組んでみる。


    1. a 2 - b 2 = a + b a - b

      問題の仮定、

      a + b = 1 , a b

      より、

      a + b a - b = 1 · a - b = a - b 0

      よって、

      a 2 - b 2 0

      ゆえに、

      A M A - 1 M

    2. A n = A n - 1 A = ( x y y x ) ( a b b a ) x + y = 1 , x y , a + b = 1 , a b = ( a x + b y b x + a y a y + b x b y + a x ) = ( a x + b y a y + b x a y + b x a x + b y )
      a x + b y + a y + b x = a x + y + b x + y = a + b = 1

      また、

      a x + b y - a y + b x = a x - y - b x - y = a - b x - y 0

      よって帰納法により、すべての正の整数 n に対して、

      A n M

      が成り立つ。

      (証明終)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, Rational


a = Rational(1, 3)
b = Rational(2, 3)
A = Matrix([[a, b],
            [b, a]])

n = symbols('n', integer=True)
An = A ** n
an = An[0, 0]
bn = An[0, 1]

for t in [A, An, an + bn == 1, an != bn]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample22.py
⎡1/3  2/3⎤
⎢        ⎥
⎣2/3  1/3⎦

⎡     n             n    ⎤
⎢ -1/3    1     -1/3    1⎥
⎢ ───── + ─   - ───── + ─⎥
⎢   2     2       2     2⎥
⎢                        ⎥
⎢      n           n     ⎥
⎢  -1/3    1   -1/3    1 ⎥
⎢- ───── + ─   ───── + ─ ⎥
⎣    2     2     2     2 ⎦

True

True

$

0 コメント:

コメントを投稿

関連コンテンツ