数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列とその演算 - 逆行列(2×2行列、逆行列、累乗(べき乗))

数学読本〈5〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.1(行列とその演算)、逆行列、問22.を取り組んでみる。

22. 1. 
       
       $\begin{array}{}{a}^2-b^2\\ =\left(a+b\right)\left(a-b\right)\end{array}$

       問題の仮定、

       $a+b=1,a\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->b$

       より、

       $\begin{array}{}\left(a+b\right)\left(a-b\right)\\ =1·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(a-b\right)\\ =a-b\\ \ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\end{array}$

       よって、

       $a^2-b^2\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

       ゆえに、

       $A\in \; <!--\; element\; of\; -->M\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->A^{-1}\in \; <!--\; element\; of\; -->M$
    2. 
       
       $\begin{array}{}{A}^n\\ =A^{n-1}A\\ =(\begin{array}{cc}x& y\\ y& x\end{array})\end{array}(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array})\left(x+y=1,x\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->y,a+b=1,a\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->b\right)=(\begin{array}{cc}ax+by& bx+ay\\ ay+bx& by+ax\end{array})\\ =(\begin{array}{cc}ax+by& ay+bx\\ ay+bx& ax+by\end{array})$
       $\begin{array}{}ax+by+ay+bx\\ =a\left(x+y\right)+b\left(x+y\right)\\ =a+b\\ =1\end{array}$

       また、

       $\begin{array}{}\left(ax+by\right)-\left(ay+bx\right)\\ =a\left(x-y\right)-b\left(x-y\right)\\ =\left(a-b\right)\left(x-y\right)\\ \ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\end{array}$

       よって帰納法により、すべての正の整数 n に対して、

       $A^n\in \; <!--\; element\; of\; -->M$

       が成り立つ。

       （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, Rational


a = Rational(1, 3)
b = Rational(2, 3)
A = Matrix([[a, b],
            [b, a]])

n = symbols('n', integer=True)
An = A ** n
an = An[0, 0]
bn = An[0, 1]

for t in [A, An, an + bn == 1, an != bn]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample22.py
⎡1/3  2/3⎤
⎢        ⎥
⎣2/3  1/3⎦

⎡     n             n    ⎤
⎢ -1/3    1     -1/3    1⎥
⎢ ───── + ─   - ───── + ─⎥
⎢   2     2       2     2⎥
⎢                        ⎥
⎢      n           n     ⎥
⎢  -1/3    1   -1/3    1 ⎥
⎢- ───── + ─   ───── + ─ ⎥
⎣    2     2     2     2 ⎦

True

True

$