数学 - Python - 線型代数 - 複素数、複素ベクトル空間 - 二項方程式(1の累乗根(4乗根、6乗根))

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(複素数、複素ベクトル空間)、4(二項方程式)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   

   1の4乗根。

   $\cos 0+i\sin 0=1$
   $\begin{array}{}\cos \frac{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}+i\sin \frac{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}\\ =\cos \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}+i\sin \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}\\ =i\end{array}$
   $\begin{array}{}\cos \frac{4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}+i\sin \frac{4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}\\ =\cos \mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}+i\sin \mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\\ =-1\end{array}$
   $\begin{array}{}\cos \frac{6\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}+i\sin \frac{6\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{4}\\ =\cos \frac{3\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}+i\sin \frac{3\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{2}\\ =-i\end{array}$

   1の6乗根。

   $\cos 0+i\sin 0=1$
   $\begin{array}{}\cos \frac{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}+i\sin \frac{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}\\ =\cos \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3}+i\sin \frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3}\\ =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{array}$
   $\begin{array}{}\cos \frac{4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}+i\sin \frac{4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}\\ ={\cos }^2\frac{\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3}+i\sin \frac{2\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3}\\ =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{array}$
   $\begin{array}{}\cos \frac{6\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}+i\sin \frac{6\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}\\ =\cos \mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}+i\sin \mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}\\ =-1\end{array}$
   $\begin{array}{}\cos \frac{8\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}+i\sin \frac{8\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}\\ =\cos \frac{4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3}+i\sin \frac{4\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3}\\ =-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{array}$
   $\begin{array}{}\cos \frac{10\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}+i\sin \frac{10\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{6}\\ =\cos \frac{5\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3}+i\sin \frac{5\mathrm{\pi \; <!--\; greek\; small\; letter\; pi\; -->}}{3}\\ =\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve

z = symbols('z')

for n in [4, 6]:
    print(f'1の{n}乗根')
    for z0 in solve(z ** n - 1):
        pprint(z0)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1の4乗根
-1

1

-ⅈ

ⅈ


1の6乗根
-1

1

  1   √3⋅ⅈ
- ─ - ────
  2    2  

  1   √3⋅ⅈ
- ─ + ────
  2    2  

1   √3⋅ⅈ
─ - ────
2    2  

1   √3⋅ⅈ
─ + ────
2    2  


$