2017年12月10日日曜日

学習環境

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.4(n次元実数空間における曲線)、問題2.を取り組んでみる。


    1. 一定な速さを a とおくと、

      f ' t = a

      両辺を2乗。

      f ' t 2 = a 2 f ' t · f ' t = a 2

      この両辺を微分すると、

      f ' ' t · f ' t + f ' t · f ' ' t = 0 2 f ' ' t · f ' t = 0 f ' ' t · f ' t = 0

      よって、加速度ベクトルと速度ベクトルに直交する。


    2. v t = f ' t v t 2 = f ' t 2 = f ' t · f ' t

      これを微分すると、

      d dt v t 2 = f ' ' t · f ' t + f ' t · f ' ' t = 2 f ' ' t · f ' t

      問題の仮定の、加速度ベクトルがいつも速度ベクトルに直交するということから、

      f ' ' t · f t = 0

      よって、

      d dt v t 2 = 0

      となるので

      v t 2

      は定数、 すなわち

      v t

      は定数なので、速さは一定である。

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