2017年12月9日土曜日

学習環境

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問題7.を取り組んでみる。


  1. a、 b の 素因数分解をそれぞれ、

    a = p 1 α 1 p n α n b = q 1 β 1 q m β m

    とする。

    問題の仮定より、

    p i q j i = 1 , , n , j = 1 , , m

    よって、 ab の素因数分解は

    a b = p 1 α 1 p n α n q 1 β 1 q m β n

    となる。

    正の約紋の総数に関して、

    τ a = α 1 + 1 α n + 1 τ b = β 1 + 1 β m + 1 τ a b = α 1 + 1 α n + 1 β 1 + 1 β m + 1

    となるので、

    a , b = 1 τ a b = τ a τ b

    が成り立つ。

    すべての正の約数の和に関して、

    σ a = p 1 α 1 + 1 - 1 p 1 - 1 · · p n α n + 1 - 1 p n - 1
    σ b = q 1 β 1 + 1 - 1 q 1 - 1 · · q m β m - 1 - 1 q m - 1

    よって、

    a , b = 1 σ a b = σ a σ b

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