数学 - 集合と位相 - 集合と濃度 - 可算集合、非可算集合(可算集合の無限部分集合の濃度)

集合・位相入門

学習環境

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  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(集合と濃度)、2(可算集合、非可算集合)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   

   可算集合を A、その無限部分集合を B とする。

   $\begin{array}{}B\subset \; <!--\; subset\; of\; -->A\\ \mathrm{card}B\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{card}A=\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\end{array}$

   B は無限集合なので、

   $\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{card}B$

   よって B は可算である。

   $\mathrm{card}B=\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}$