数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列とその演算 - 逆行列(転置行列の逆行列)

数学読本〈5〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.1(行列とその演算)、逆行列、問21.を取り組んでみる。

21. 
    

    行列 A を

    $A=(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array})$

    ておくと、 A は逆行列をもつので、

    $\begin{array}{}ad-bc\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\\ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array})\end{array}d{\left(A^{-1}\right)}^T=\frac{1}{ad-bc}=(\begin{array}{cc}d& -c\\ -b& a\end{array})$

    また、 A の転置行列について、

    $\begin{array}{}{A}^T=(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array})\end{array}ad-cb=ad-bc\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

    より逆行列をもち、

    ${\left(A^T\right)}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}(\begin{array}{cc}d& -c\\ -b& a\end{array})$

    となる。

    よって、

    ${\left(A^T\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T$

    が成り立つ。
    （証明終）

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

a, b, c, d = symbols('a, b, c, d')

A = Matrix([[a, b],
            [c, d]])

l = A.T.inv()
r = A.inv().T

for t in [A, A.T, A.inv(), l, r, l == r]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample21.py
⎡a  b⎤
⎢    ⎥
⎣c  d⎦

⎡a  c⎤
⎢    ⎥
⎣b  d⎦

⎡    d         -b    ⎤
⎢─────────  ─────────⎥
⎢a⋅d - b⋅c  a⋅d - b⋅c⎥
⎢                    ⎥
⎢   -c          a    ⎥
⎢─────────  ─────────⎥
⎣a⋅d - b⋅c  a⋅d - b⋅c⎦

⎡    d         -c    ⎤
⎢─────────  ─────────⎥
⎢a⋅d - b⋅c  a⋅d - b⋅c⎥
⎢                    ⎥
⎢   -b          a    ⎥
⎢─────────  ─────────⎥
⎣a⋅d - b⋅c  a⋅d - b⋅c⎦

⎡    d         -c    ⎤
⎢─────────  ─────────⎥
⎢a⋅d - b⋅c  a⋅d - b⋅c⎥
⎢                    ⎥
⎢   -b          a    ⎥
⎢─────────  ─────────⎥
⎣a⋅d - b⋅c  a⋅d - b⋅c⎦

True

$