数学 - 解析学 - 距離空間の位相 - 連結性(連結成分、有限個、開閉集合)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.3(連結性)、問題3.を取り組んでみる。

3. 
   

   命題3、(c)より、各連結成分は閉集合である。

   また、 A を 1つの連結成分とし、 A を除く連結成分の和集合を考えると、その各連結成分は閉集合で、有 限個の和集合である。

   よって和集合は閉集合である。

   そして、 A はその和集合の補集合なので開集合である。

   ゆえに、 A は開閉集合である。

   以上より、各連結成分は X の開閉集合である。