数学 - Python - 線型代数 - 線型写像 - 基本変形(行列の階数を求める)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、11(基本変形)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $\begin{array}{}(\begin{array}{ccc}-4& -2& -8\\ 0& 1& 0\\ -15& -3& -18\end{array})\end{array}\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->(\begin{array}{ccc}-4& 0-& 8\\ 0& 1& 0\\ -15& 0& -18\end{array})\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 0\\ 5& 0& 6\end{array})\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 5& 0& -4\end{array})\\ \to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array})$

   行列の階数は3。

   $\begin{array}{}(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& -6& -4\\ 0& -3& -2\end{array})\end{array}\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -3& -2\\ 0& -3& -2\end{array})\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -3& -2\\ 0& 0& 0\end{array})$

   行列の階数は2。

   $\begin{array}{}(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 6& -5& -10& -15& -20\\ 11& -10& -20& -30& -40\end{array})\end{array}\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 2& 3& 4\end{array})\\ \to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 2& 3& 4\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array})$

   行列の階数は2。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix
import random

print('1.')
MS = [Matrix([[-4, -2, 2],
              [-4, 1, -5],
              [-3, -3, -3]]),
      Matrix([[1, 2, 3],
              [3, 0, 5],
              [0, -3, -2]]),
      Matrix(range(1, 16)).reshape(3, 5)]

for M in MS:
    pprint(M)
    print(f'階数: {M.rank()}')

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
⎡-4  -2  2 ⎤
⎢          ⎥
⎢-4  1   -5⎥
⎢          ⎥
⎣-3  -3  -3⎦
階数: 3
⎡1  2   3 ⎤
⎢         ⎥
⎢3  0   5 ⎥
⎢         ⎥
⎣0  -3  -2⎦
階数: 2
⎡1   2   3   4   5 ⎤
⎢                  ⎥
⎢6   7   8   9   10⎥
⎢                  ⎥
⎣11  12  13  14  15⎦
階数: 2
$