数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(写像の集合から写像の集合への写像、全射と単射)

集合・位相入門

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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、5(添数づけられた族、一般の直積)、問題15を取り組んでみる。

15. 1. $\begin{array}{}f,g\in \; <!--\; element\; of\; -->F\left(A,B\right)\\ \mathrm{\Phi \; <!--\; greek\; capital\; letter\; phi\; -->}\left(f\right)=\mathrm{\Phi \; <!--\; greek\; capital\; letter\; phi\; -->}\left(g\right)\end{array}$

       とする。

       $v\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->u=v\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->g\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->u$

       u は仮定より全射なのでその右逆写像を s とする。

       また、仮定より v は単的なのでその左逆写像を t とする。

       $\begin{array}{}s\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->v\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->u\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->t=s\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->v\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->g\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->u\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->t\\ I_B\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->I_A=I_B\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->g\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->I_A\\ f=g\end{array}$

       よって単射である。

    2. f'を任意の A'から B'への写像とする。

       仮定より u は単射なのでその左逆写像が存在し、それをs とする。

       また、 v は全射なのでその右逆写像が存在し、それをtとする。 A から B への写像 f を定める。

       $\begin{array}{}f=t\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f\text{'}\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->s\\ \mathrm{\Phi \; <!--\; greek\; capital\; letter\; phi\; -->}\left(f\right)=v\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->t\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f\text{'}\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->s\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->u\\ =I_B,\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f\text{'}\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->I_A,\\ =f\text{'}\end{array}$

       よって全射である。（証明終）