2017年11月3日金曜日

学習環境

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題7.を取り組んでみる。

  1. aをAの内部の境界の任意の元とする。

    x A if

    Aの内部はAの部分集合である。

    A i A

    よって、Aの内部の閉包はAの閉包の部分集合である。

    A ¯ i A ¯

    よって、次のことが成り立つ。

    x A if x A i ¯ A ii x A i ¯ A i x A ¯ A i x A f

    ゆえに、Aの内部の教会はAの教会の部分集合である。

    A if A f

    xをAの閉包の境界の任意の点とする。

    x A a

    Aの内部ははAの閉包の内部の部分集合である。

    A i A ai

    よって、次のことが成り立つ。

    x A af x A aa A ai x A a A ai x A a A i x A f

    ゆえに、Aの閉包の境界はAの境界の部分集合である。

    A af A f

    (証明終)

    実数区間で等号が成り立たない部分集合の例とし点0と開区間(1, 2)と開区間(2, 3)の和集合。

    実際に確認。

    A={ 0 }( 1,2 )( 2,3 ) A i =( 1,2 )( 2,3 ) A if ={ 1,2,3 } A f ={ 0,1,2,3 } A if A f A a ={ 0 }[ 1,3 ] A af ={ 0,1,3 } A af A f

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, Interval

print('7.')
A = Interval(0, 0) | Interval.open(1, 2) | Interval.open(2, 3)
Aif = A.interior.boundary
Af = A.boundary
Aaf = A.closure.boundary

for X in [A, Af, Aif, Aaf]:
    pprint(X)
    print()

for X in [Aif, Aaf]:
    print(X.is_subset(Af) and X != Af)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample7.py
7.
{0} ∪ (1, 2) ∪ (2, 3)

{0, 1, 2, 3}

{1, 2, 3}

{0, 1, 3}

True

True

$

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