数学 - Python - 解析学 - 距離空間の位相 - 位相の基礎的諸概念(境界、内部の境界、閉包の境界、包含関係、実数区間)

解析入門〈3〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題7.を取り組んでみる。

7. aをAの内部の境界の任意の元とする。

   $x\in A^{if}$

   Aの内部はAの部分集合である。

   $A^i\subset A$

   よって、Aの内部の閉包はAの閉包の部分集合である。

   ${\overline{A}}^i\subset \overline{A}$

   よって、次のことが成り立つ。

   $\begin{array}{l}x\in A^{if}\\ \iff x\in \overline{A^i}-A^{ii}\\ \iff x\in \overline{A^i}-A^i\\ \Rightarrow x\in \overline{A}-A^i\\ \iff x\in A^f\end{array}$

   ゆえに、Aの内部の教会はAの教会の部分集合である。

   $A^{if}\subset A^f$

   xをAの閉包の境界の任意の点とする。

   $x\in A^a$

   Aの内部ははAの閉包の内部の部分集合である。

   $A^i\subset A^{ai}$

   よって、次のことが成り立つ。

   $\begin{array}{l}x\in A^{af}\\ \iff x\in A^{aa}-A^{ai}\\ \iff x\in A^a-A^{ai}\\ \Rightarrow x\in A^a-A^i\\ \iff x\in A^f\end{array}$

   ゆえに、Aの閉包の境界はAの境界の部分集合である。

   $A^{af}\subset A^f$

   (証明終)

   実数区間で等号が成り立たない部分集合の例とし点0と開区間(1, 2)と開区間(2, 3)の和集合。

   実際に確認。

   $\begin{array}{l}A=\left\{0\right\}\cup \left(1,2\right)\cup \left(2,3\right)\\ \\ A^i=\left(1,2\right)\cup \left(2,3\right)\\ A^{if}=\left\{1,2,3\right\}\\ A^f=\left\{0,1,2,3\right\}\\ A^{if}\ne A^f\\ \\ A^a=\left\{0\right\}\cup \left[1,3\right]\\ A^{af}=\left\{0,1,3\right\}\\ A^{af}\ne A^f\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, Interval

print('7.')
A = Interval(0, 0) | Interval.open(1, 2) | Interval.open(2, 3)
Aif = A.interior.boundary
Af = A.boundary
Aaf = A.closure.boundary

for X in [A, Af, Aif, Aaf]:
    pprint(X)
    print()

for X in [Aif, Aaf]:
    print(X.is_subset(Af) and X != Af)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample7.py
7.
{0} ∪ (1, 2) ∪ (2, 3)

{0, 1, 2, 3}

{1, 2, 3}

{0, 1, 3}

True

True

$