数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列とその演算 - 行列の加法・減法・実数倍(正方行列、転置行列、対称行列、交代行列、和と差)

数学読本〈5〉

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数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.1(行列とその演算)、行列の加法・減法・実数倍、問7.を取り組んでみる。

7. 
   
   $\begin{array}{}{\left(A+A^T\right)}^T\\ ={\left(a_{ij}+a_{ji}\right)}^T\\ =\left(a_{ji+}{a}_{ij}\right)\\ =\left(a_{ij}+a_{ji}\right)\\ =\left(a_{ij}\right)+\left(a_{ji}\right)\\ =A+A^T\end{array}$

   よって、 任意の正方行列 A に対して、 A とその転置行列の和は対称行列である。

   $\begin{array}{}{\left(A-A^T\right)}^T\\ =\left(\left(a_{ij}\right)-\left(a_{ji}\right)\right)T\\ ={\left(a_{ij}-a_{ji}\right)}^T\\ =\left(a_{ji}-a_{ij}\right)\\ =-\left(a_{ij}-a_{ji}\right)\\ =-\left(\left(a_{ij}\right)-\left(a_{ji}\right)\right)\\ =-\left(A-A^T\right)\end{array}$

   よって 任意の正方行列 A に対して、 A と A の転置行列の差の転置行列は交代行列である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix
import random

print('問7')
for n in range(2, 6):
    A = Matrix(symbols(','.join([chr(ord('a') + k)
                                 for k in range(n * n)]))).reshape(n, n)
    for t in [A, A.T, -A, (A + A.T).T == A + A.T, (A - A.T).T == -(A - A.T)]:
        pprint(t)
        print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample7.py
問7
⎡a  b⎤
⎢    ⎥
⎣c  d⎦

⎡a  c⎤
⎢    ⎥
⎣b  d⎦

⎡-a  -b⎤
⎢      ⎥
⎣-c  -d⎦

True

True

⎡a  b  c⎤
⎢       ⎥
⎢d  e  f⎥
⎢       ⎥
⎣g  h  i⎦

⎡a  d  g⎤
⎢       ⎥
⎢b  e  h⎥
⎢       ⎥
⎣c  f  i⎦

⎡-a  -b  -c⎤
⎢          ⎥
⎢-d  -e  -f⎥
⎢          ⎥
⎣-g  -h  -i⎦

True

True

⎡a  b  c  d⎤
⎢          ⎥
⎢e  f  g  h⎥
⎢          ⎥
⎢i  j  k  l⎥
⎢          ⎥
⎣m  n  o  p⎦

⎡a  e  i  m⎤
⎢          ⎥
⎢b  f  j  n⎥
⎢          ⎥
⎢c  g  k  o⎥
⎢          ⎥
⎣d  h  l  p⎦

⎡-a  -b  -c  -d⎤
⎢              ⎥
⎢-e  -f  -g  -h⎥
⎢              ⎥
⎢-i  -j  -k  -l⎥
⎢              ⎥
⎣-m  -n  -o  -p⎦

True

True

⎡a  b  c  d  e⎤
⎢             ⎥
⎢f  g  h  i  j⎥
⎢             ⎥
⎢k  l  m  n  o⎥
⎢             ⎥
⎢p  q  r  s  t⎥
⎢             ⎥
⎣u  v  w  x  y⎦

⎡a  f  k  p  u⎤
⎢             ⎥
⎢b  g  l  q  v⎥
⎢             ⎥
⎢c  h  m  r  w⎥
⎢             ⎥
⎢d  i  n  s  x⎥
⎢             ⎥
⎣e  j  o  t  y⎦

⎡-a  -b  -c  -d  -e⎤
⎢                  ⎥
⎢-f  -g  -h  -i  -j⎥
⎢                  ⎥
⎢-k  -l  -m  -n  -o⎥
⎢                  ⎥
⎢-p  -q  -r  -s  -t⎥
⎢                  ⎥
⎣-u  -v  -w  -x  -y⎦

True

True

$