数学 - Python - もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式 – 行列とその演算 - 逆行列(正方行列(2次元)、逆行列をもつための十分条件)

数学読本〈5〉

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数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第21章(もう１つの数学の基盤 - 行列と行列式)、21.1(行列とその演算)、逆行列、問19.を取り組んでみる。

19. 1. 
       
       $\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}=6-5=1$

       よって逆行列をもつ。

       $A^{-1}=(\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array})$
    2. 
       
       $\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}=0-4=-4$

       よって逆行所をもつ。

       $A^{-1}=\frac{1}{-4}(\begin{array}{cc}3& -1\\ -4& 0\end{array})=(\begin{array}{cc}-\frac{3}{4}& \frac{1}{4}\\ 1& 0\end{array})$
    3. 
       
       $\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}=-1$

       よって逆行列をもつ。

       $A^{-1}=\frac{1}{-1}·\; <!--\; middle\; dot\; -->(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array})=(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array})$
    4. 
       
       $\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}=-18+18=0$

       よって逆行列をもたない。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

a = [[3, -1, -5, 2],
     [0, 1, 4, 3],
     [0, -1, -1, 0],
     [3, 2, -9, -6]]

E = Matrix([[1, 0],
            [0, 1]])
for i, t in enumerate(a, 1):
    print(f'({i})')
    A = Matrix(t).reshape(2, 2)
    pprint(A)
    print()
    try:
        for t in [A.inv(), A * A.inv(), A.inv() * A, A * A.inv() == E]:
            pprint(t)
            print()
    except Exception as err:
        print(type(err), err)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample19.py
(1)
⎡3   -1⎤
⎢      ⎥
⎣-5  2 ⎦

⎡2  1⎤
⎢    ⎥
⎣5  3⎦

⎡1  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  1⎦

⎡1  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  1⎦

True


(2)
⎡0  1⎤
⎢    ⎥
⎣4  3⎦

⎡-3/4  1/4⎤
⎢         ⎥
⎣ 1     0 ⎦

⎡1  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  1⎦

⎡1  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  1⎦

True


(3)
⎡0   -1⎤
⎢      ⎥
⎣-1  0 ⎦

⎡0   -1⎤
⎢      ⎥
⎣-1  0 ⎦

⎡1  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  1⎦

⎡1  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  1⎦

True


(4)
⎡3   2 ⎤
⎢      ⎥
⎣-9  -6⎦

<class 'ValueError'> Matrix det == 0; not invertible.

$