数学 - 解析学 - 距離空間の位相 - 連結性(連結距離空間、開集合の直和、境界、空集合)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.3(連結性)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $A^f=\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}$

   と仮定する。

   このとき、

   $X=A^i\cup \; <!--\; union\; -->A^e,A^i\cap \; <!--\; intersection\; -->A^e=\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}$

   また、 問題の仮定より、

   $A^i=A\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}$
   $\begin{array}{}A\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->X\\ A^e={\left(A^e\right)}^i\\ A^e={\left(A^i\right)}^c=A^c=\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\end{array}$

   以上より、

   $\begin{array}{}X=A^i\cup \; <!--\; union\; -->A^e\\ A^i\cap \; <!--\; intersection\; -->A^e=\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\\ A^i\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\\ A^e\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\\ A^i,A^e\in \; <!--\; element\; of\; -->O\end{array}$

   よって、 X は連結な距離空間ではない。
   これは、問題の仮定と矛盾。
   ゆえに、

   $A^f\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}$

   （証明終）