数学 - 線型代数 - 線型写像 - 行列の階数(n次の正方行列、正則、正則な行列の積の逆行列)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、10(行列の階数)、問題3.を取り組んでみる。

3. 1. Aは正則なので、Aに対応する線型写像LAは逆変換をもつ。

      その逆変換に対応する行列をBとする。

      $\begin{array}{l}{L}_B\circ L_A=L_{I_n}\\ L_A\circ L_B=L_{I_n}\\ BA=BA=I_n\\ B=A^{-1}\end{array}$

      よって、Aの逆行列のBの逆行列はAである。

      ${\left(A^{-1}\right)}^{-1}=B^{-1}=A$

   2. Aの逆行列をA'、Bの逆行列をB'とおく。

      $\begin{array}{l}{L}_A\circ L_{A\text{'}}=L_{I_n}\\ L_B\circ L_{B\text{'}}=I_{I_n}\\ \\ L_{AB}\circ \left(L_{B^{\prime }{A}^{\prime }}\right)\\ =L_A\circ L_B\circ L_{B^{\prime }}\circ L_{A^{\prime }}\\ =L_A\circ I_n\circ L_{A^{\prime }}\\ =L_A\circ L_{A^{\prime }}\\ =I_n\\ \\ L_{AB}{}^{-1}=L_{B^{\prime }{A}^{\prime }}\end{array}$

      よって、ABの逆行列はBの逆行列とAの行列の積である。

      ${\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$