数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(全射、値域、包含関係、右逆写像が一意であるための十分条件)

集合・位相入門

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、5(添数づけられた族、一般の直積)、問題11を取り組んでみる。

11. V(s)がV(s')に含まれているとする。

    $V\left(s\right)\subset V\left(s\text{'}\right)$

    bをBの任意の元とする。

    仮定より。

    $\begin{array}{l}s\left(b\right)\in V\left(s\right)\\ s\left(b\right)\in V\left(s^{\prime }\right)\end{array}$

    Bのあるb'が存在して、s(b) = s'(b')。

    $\begin{array}{l}f\left(s\left(b\right)\right)=f\left(s\text{'}\left(b\text{'}\right)\right)\\ \left(f\circ s\right)\left(b\right)=\left(f\circ s\right)\left(b\text{'}\right)\\ I_B\left(b\right)=I_B\left(b^{\prime }\right)\\ b=b\text{'}\end{array}$

    よって、s(b) = s'(b)となる。

    ゆえに、s = s'

    V(s')がV(s)に含まれている場合も同様にs = s'。(証明終)