数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(値域、包含関係、標準的単射、右逆写像、ある写像が存在するための必要十分条件)

集合・位相入門

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  • Pythonからはじめる数学入門
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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、5(添数づけられた族、一般の直積)、問題13を取り組んでみる。

13. $h=g\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f$

    となるような写像が存在するとき、

    $\begin{array}{}V\left(h\right)\\ =h\left(A\right)\\ =\left(g\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f\right)\left(A\right)\\ =g\left(f\left(A\right)\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->V\left(g\right)\\ V\left(h\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->V\left(g\right)\end{array}$

    逆に、

    $V\left(h\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->V\left(g\right)$

    のとき、 g、 h の終集合を V(g) した写像を考える。

    $\begin{array}{}{g}_0:B\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->V\left(g\right)\\ h_0:A\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->V\left(g\right)\end{array}$

    1つ目の写像は全射 となるので、右逆写像が存在する。

    $s:V\left(g\right)\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->B$

    V (g)から C への標準的単射を i とする。

    A から B への写像 f を

    $f=s\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->h_0$

    とする。 このとき、

    $\begin{array}{}g\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->f=\left(i\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->g_0\right)\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->\left(s\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->h_0\right)\\ =i\circ \; <!--\; ring\; operator\; -->h_0\\ =h\end{array}$

    よって必要十分条件である。（証明終）