2017年11月3日金曜日

学習環境

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、5(添数づけられた族、一般の直積)、問題10を取り組んでみる。

  1. fが全射であるとする。

    bを直積Bの任意の元とする。

    B= λΛ B λ bB b= ( b λ ) λΛ

    そのとき、直積aのある元が存在して、f(a) = bが成り立つ。

    a= ( a λ ) λΛ f( a )=b f( ( a λ ) λΛ )= ( b λ ) λΛ ( f λ ( a λ ) ) λΛ = ( b λ ) λΛ f λ ( a λ ) λΛ = b λ

    よって、すべてのΛの元λについてfλは全射である。

    すべてのΛの元λについてfλは全射であると仮定する。

    bを直積Bの任意の元とする。

    B= λΛ B λ bB b= ( b λ ) λΛ

    すべてのλに対してfλは全射なので、あるaλが存在して、fλ(aλ) = bλが成り立つ。

    f λ ( a λ ) λΛ = b λ

    よって、fは全射である。

    fが単射であると仮定する。

    a、a'を直積Aの任意の元とする。

    f(a) = f(a')のとき、a = a'である。

    f( a )=f( a' ) f( ( a λ ) λΛ )=f( ( a ' λ ) λΛ ) ( f λ ( a λ ) ) λΛ = ( f λ ( a ' λ ) ) λΛ a=a' ( a λ ) λΛ = ( a ' λ ) λΛ

    よって、次のことが成り立つ。

    f λ ( a λ )= f λ ( a ' λ ) a λ =a ' λ

    ゆえに、すべてのλについてfλは単射である。

    すべてのλについてfλは単射であると仮定する。

    a、a'を直積Aの任意の元とし、f(a) = f(a')と仮定する。

    f( a )=f( a' ) f( ( a λ ) λΛ )=f( ( a ' λ ) λΛ ) ( f λ ( a λ ) ) λΛ = ( f λ ( a ' λ ) ) λΛ f λ ( a λ )= f λ ( a ' λ )

    fλは単射なので次のことが成り立つ。

    a λ =a ' λ a=a

    よって、fは単射である。(証明終)

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