数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(同じ添数集合をもつ集合族、直積、直積から直積への写像、全射、単射、全単射)

集合・位相入門

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、5(添数づけられた族、一般の直積)、問題10を取り組んでみる。

10. fが全射であるとする。

    bを直積Bの任意の元とする。

    $\begin{array}{l}B={\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }{B}_{\lambda }}\\ b\in B\\ b={\left(b_{\lambda }\right)}_{\lambda \in \Lambda }\end{array}$

    そのとき、直積aのある元が存在して、f(a) = bが成り立つ。

    $\begin{array}{l}a={\left(a_{\lambda }\right)}_{\lambda \in \Lambda }\\ f\left(a\right)=b\\ f\left({\left(a_{\lambda }\right)}_{\lambda \in \Lambda }\right)={\left(b_{\lambda }\right)}_{\lambda \in \Lambda }\\ {\left(f_{\lambda }\left(a_{\lambda }\right)\right)}_{\lambda \in \Lambda }={\left(b_{\lambda }\right)}_{\lambda \in \Lambda }\\ f_{\lambda }{\left(a_{\lambda }\right)}_{\lambda \in \Lambda }=b_{\lambda }\end{array}$

    よって、すべてのΛの元λについてfλは全射である。

    すべてのΛの元λについてfλは全射であると仮定する。

    bを直積Bの任意の元とする。

    $\begin{array}{l}B={\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }{B}_{\lambda }}\\ b\in B\\ b={\left(b_{\lambda }\right)}_{\lambda \in \Lambda }\end{array}$

    すべてのλに対してfλは全射なので、あるaλが存在して、fλ(aλ) = bλが成り立つ。

    $f_{\lambda }{\left(a_{\lambda }\right)}_{\lambda \in \Lambda }=b_{\lambda }$

    よって、fは全射である。

    fが単射であると仮定する。

    a、a'を直積Aの任意の元とする。

    f(a) = f(a')のとき、a = a'である。

    $\begin{array}{l}f\left(a\right)=f\left(a\text{'}\right)\\ f\left({\left(a_{\lambda }\right)}_{\lambda \in \Lambda }\right)=f\left({\left(a{\text{'}}_{\lambda }\right)}_{\lambda \in \Lambda }\right)\\ {\left(f_{\lambda }\left(a_{\lambda }\right)\right)}_{\lambda \in \Lambda }={\left(f_{\lambda }\left(a{\text{'}}_{\lambda }\right)\right)}_{\lambda \in \Lambda }\\ \\ a=a\text{'}\\ {\left(a_{\lambda }\right)}_{\lambda \in \Lambda }={\left(a{\text{'}}_{\lambda }\right)}_{\lambda \in \Lambda }\end{array}$

    よって、次のことが成り立つ。

    $f_{\lambda }\left(a_{\lambda }\right)=f_{\lambda }\left(a{\text{'}}_{\lambda }\right)\Rightarrow a_{\lambda }=a{\text{'}}_{\lambda }$

    ゆえに、すべてのλについてfλは単射である。

    すべてのλについてfλは単射であると仮定する。

    a、a'を直積Aの任意の元とし、f(a) = f(a')と仮定する。

    $\begin{array}{l}f\left(a\right)=f\left(a\text{'}\right)\\ f\left({\left(a_{\lambda }\right)}_{\lambda \in \Lambda }\right)=f\left({\left(a{\text{'}}_{\lambda }\right)}_{\lambda \in \Lambda }\right)\\ {\left(f_{\lambda }\left(a_{\lambda }\right)\right)}_{\lambda \in \Lambda }={\left(f_{\lambda }\left(a{\text{'}}_{\lambda }\right)\right)}_{\lambda \in \Lambda }\\ f_{\lambda }\left(a_{\lambda }\right)=f_{\lambda }\left(a{\text{'}}_{\lambda }\right)\end{array}$

    fλは単射なので次のことが成り立つ。

    $\begin{array}{l}{a}_{\lambda }=a{\text{'}}_{\lambda }\\ a=a\end{array}$

    よって、fは単射である。(証明終)