数学 - 集合論 - 濃度 - 連続の濃度(可算集合の濃度と連続の濃度の積の濃度、実係数の多項式の集合の濃度、実数の有限部分集合の集合の濃度)

集合論入門

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集合論入門(基礎数学シリーズ)(松村 英之(著)、朝倉書店)の2.(濃度)、2.3(連続の濃度)の問17.を取り組んでみる。

17. 
    
    $\begin{array}{}\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left(\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\right)\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\left(\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\right)\\ =\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\end{array}$

    よって、

    $\left(\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\right)=\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}$

    （証明終）

    実数係数の多項式の集合の濃度について。

    $\begin{array}{}\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\left[x\right]\\ =\left(\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\right)\\ =\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\end{array}$

    実数の有限部分集合の集合の濃度は、

    $\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}$

    以上である。

    また、

    $\left(\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\right)=\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}$

    以下である。

    よって 濃度は、

    $\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}$