数学 - Python - 線型代数 - 線型写像 - 線型写像の像と核(行列、線型変換、像と核、階数と退化次数、基底)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、9(線型写像の像と核)、問題8.を取り組んでみる。

8. X1、X2を任意の2次元行列とする。

   $\begin{array}{l}F\left(X_1+X_2\right)\\ =A\left(X_1+X_2\right)\\ =A{X}_1+A{X}_2\\ =F\left(X_1\right)+F\left(X_2\right)\end{array}$

   Xを任意の二次元の行列、cをスカラーとする。

   $\begin{array}{l}F\left(cX\right)\\ =A\left(cX\right)\\ =c\left(AX\right)\\ =cF\left(X\right)\end{array}$

   よって、FはM2(R)の線型変換。

   $\begin{array}{l}F\left(\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\right)=A\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -4& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -4& 0\end{array}\right)\\ \\ F\left(\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\right)=A\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -4& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -4\end{array}\right)\\ \\ F\left(\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)\right)=A\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -4& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 4& 0\end{array}\right)\\ \\ F\left(\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\right)=A\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -4& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 4\end{array}\right)\\ \\ a_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -4& 0\end{array}\right),a_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -4\end{array}\right),a_3=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 4& 0\end{array}\right),a_4=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 4\end{array}\right)\\ a_3=-a_1,a_4=-a_2\\ \mathrm{Im}F=\langle a_1,a_2\rangle \\ rankF=2\end{array}$

   よって、線型変換の階数は2。

   $\begin{array}{l}F\left(\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\right)=O\\ A\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=O\\ \left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -4& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=O\\ \left(\begin{array}{cc}a-c& b-d\\ -4a+4c& -4b+4d\end{array}\right)=O\\ \\ a-c=0\\ b-d=0\\ -4a+4c=0\\ -4b+4d=0\\ \\ c=a\\ d=b\\ \\ \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ a& b\end{array}\right)\\ =a\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\\ \\ KerF=\langle \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\rangle \\ nullityF=2\end{array}$

   よって、線型変換の退化次数は2。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve
import functools

print('8.')
A = Matrix([[1, -1],
            [-1, 0]])
X1 = Matrix([symbols('a b'),
             symbols('c d')])
X2 = Matrix([symbols('e f'),
             symbols('g h')])
Z = Matrix([[0, 0],
            [0, 0]])
F = lambda X: A * X
k = symbols('k')
for t in [A, X1, X2, F(X1 + X2), F(X1) + F(X2), F(X1 + X2) == F(X1) + F(X2),
          F(k * X1), k * F(X1), F(k * X1) == k * F(X1)]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample8.py
8.
⎡1   -1⎤
⎢      ⎥
⎣-1  0 ⎦

⎡a  b⎤
⎢    ⎥
⎣c  d⎦

⎡e  f⎤
⎢    ⎥
⎣g  h⎦

⎡a - c + e - g  b - d + f - h⎤
⎢                            ⎥
⎣   -a - e         -b - f    ⎦

⎡a - c + e - g  b - d + f - h⎤
⎢                            ⎥
⎣   -a - e         -b - f    ⎦

True

⎡a⋅k - c⋅k  b⋅k - d⋅k⎤
⎢                    ⎥
⎣  -a⋅k       -b⋅k   ⎦

⎡k⋅(a - c)  k⋅(b - d)⎤
⎢                    ⎥
⎣  -a⋅k       -b⋅k   ⎦

False

$