2017年10月29日日曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、2(定義)、練習問題8.を取り組んでみる。

  1. x、yを問題の集合Kの任意の元とし、x = a + bi、y = c + di (a、b、c、dは有理数)とおく。

    和について。

    x+y =( a+bi )+( c+di ) =( a+c )+( b+d )i a+c,b+d

    よって、加法について 集合K は閉じている。

    積について。

    xy =( a+bi )( c+di ) =( acbd )+( ad+bc )i acbd,ad+bc

    よって、集合Kは乗法について閉じている。

    加法の単位元0について。

    0=0+0i 0

    よって、集合Kは0を含む。

    乗法の単位元1について。

    1=1+0i 1,0

    よって、集合Kは1を含む。

    加法の逆元について。

    x+( abi ) =a+biabi =0 a,b

    よって、Kの任意の元に対してその加法の逆元が存在する。

    乗法の逆元について。

    x0 x 1 = 1 a+bi = abi ( a+bi )( abi ) = abi a 2 + b 2 = a a 2 b 2 b a 2 b 2 i a a 2 b 2 , b a 2 b 2

    よって、Kの任意の0ではない元の逆元はKの元である。

    以上より、a+bi(a、bは有理数)の形に書けるすべての数の集合は体である。

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