数学 - Python - 線型代数 - 線型写像 - 行列の積(行列を配置して得られる行列、積、一般化)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、7(行列の積)、問題11.を取り組んでみる。

11. 
    

    行列Bの(i, j)成分について考え、成分表示してみる。

    $\begin{array}{l}1\le i\le l_1\\ 1\le j\le m_1\\ B=\left(B_{11}の(i,j)成分\right)\\ m_1+1\le j\le m_2\\ B=\left(B_{12}の(i,j-m_1)成分\right)\\ l_1+1\le i\le l_2\\ 1\le j\le m_1\\ B=\left(B_{21}の(i-l_1,j)成分\right)\\ m_1+1\le j\le m_2\\ B=\left(B_{22}の(i-l_1,j-m_1)成分\right)\end{array}$

    同様に行列Aの(i, j)成分について考え、Aの成分表示を考えてみる。

    $\begin{array}{l}1\le i\le m_1\\ 1\le j\le n_1\\ A=\left(A_{11}の\left(i,j\right)成分\right)\\ n_1+1\le j\le n_2\\ A=\left(A_{12}の\left(i,j-n_1\right)成分\right)\\ m_1+1\le i\le m_2\\ 1\le j\le n_1\\ A=\left(A_{21}の\left(i-m_1,j\right)成分\right)\\ n_1+1\le j\le n_2\\ A=\left(A_{22}の\left(i-m_1,j-n_1\right)の成分\right)\end{array}$

    行列の積BAの(i, j)成分について考えてみる。

    $\begin{array}{l}1\le i\le l_1\\ 1\le j\le n_1\\ \left({\displaystyle \sum _{k=1}^{m_1}\left(\left(B_{11}\left(i,k\right)\right)·\left(A_{11}\left(k,j\right)\right)\right)}+{\displaystyle \sum _{k=m_1+1}^{m_j}\left(\left(B_{12}\left(i,k-m_1\right)\right)·\left(A_{21}\left(k-m_1,j\right)\right)\right)}\right)\\ n_1+1\le j\le n_2\\ \left({\displaystyle \sum _{k=1}^{m_1}\left(\left(B_{11}\left(i,k\right)\right)·\left(A_{12}\left(k,j-n_1\right)\right)\right)}+{\displaystyle \sum _{k=m_1+1}^{m_j}\left(\left(B_{12}\left(i,k-m_1\right)\right)·\left(A_{22}\left(k-m_1,j-n_1\right)\right)\right)}\right)\\ l_1+1\le i\le l_2\\ 1\le j\le n_1\\ \left({\displaystyle \sum _{k=1}^{m_1}\left(\left(B_{21}\left(i-l_1,k\right)\right)·\left(A_{11}\left(k,j\right)\right)\right)}+{\displaystyle \sum _{k=m_1+1}^{m_j}\left(\left(B_{12}\left(i-l_1,k-m_1\right)\right)·\left(A_{21}\left(k-m_1,j\right)\right)\right)}\right)\\ n_1+1\le j\le n_2\\ \left({\displaystyle \sum _{k=1}^{m_1}\left(\left(B_{21}\left(i-l_1,k\right)\right)·\left(A_{12}\left(k,j-n_1\right)\right)\right)}+{\displaystyle \sum _{k=m_1+1}^{m_j}\left(\left(B_{22}\left(i-l_1,k-m_1\right)\right)·\left(A_{22}\left(k-m_1,j-n_1\right)\right)\right)}\right)\end{array}$

    問題の等式の右辺の行列の(i, j)成分について考える。

    $\begin{array}{l}1\le i\le l_1\\ 1\le j\le n_1\\ \left({\displaystyle \sum _{k=1}^{m_1}\left(\left(B_{11}\left(i,k\right)\right)·\left(A_{11}\left(k,j\right)\right)\right)}+{\displaystyle \sum _{k=m_1+1}^{m_j}\left(\left(B_{12}\left(i,k-m_1\right)\right)·\left(A_{21}\left(k-m_1,j\right)\right)\right)}\right)\\ n_1+1\le j\le n_2\\ \left({\displaystyle \sum _{k=1}^{m_1}\left(\left(B_{11}\left(i,k\right)\right)·\left(A_{12}\left(k,j-n_1\right)\right)\right)}+{\displaystyle \sum _{k=m_1+1}^{m_j}\left(\left(B_{12}\left(i,k-m_1\right)\right)·\left(A_{22}\left(k-m_1,j-n_1\right)\right)\right)}\right)\\ l_1+1\le i\le l_2\\ 1\le j\le n_1\\ \left({\displaystyle \sum _{k=1}^{m_1}\left(\left(B_{21}\left(i-l_1,k\right)\right)·\left(A_{11}\left(k,j\right)\right)\right)}+{\displaystyle \sum _{k=m_1+1}^{m_j}\left(\left(B_{12}\left(i-l_1,k-m_1\right)\right)·\left(A_{21}\left(k-m_1,j\right)\right)\right)}\right)\\ n_1+1\le j\le n_2\\ \left({\displaystyle \sum _{k=1}^{m_1}\left(\left(B_{21}\left(i-l_1,k\right)\right)·\left(A_{12}\left(k,j-n_1\right)\right)\right)}+{\displaystyle \sum _{k=m_1+1}^{m_j}\left(\left(B_{22}\left(i-l_1,k-m_1\right)\right)·\left(A_{22}\left(k-m_1,j-n_1\right)\right)\right)}\right)\end{array}$

    よって、左辺と右辺の(i, j)成分は一致するので、問題の等号は成り立つ。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve
import functools

print('11.')
m1 = 1
m2 = 2
n1 = 2
n2 = 3
l1 = 3
l2 = 2

BS = [Matrix(range(l * m)).reshape(l, m)
      for l in [l1, l2]
      for m in [m1, m2]]
B = Matrix([BS]).reshape(2, 2)
AS = [Matrix(range(m * n)).reshape(m, n)
      for m in [m1, m2]
      for n in [n1, n2]]
A = Matrix([AS]).reshape(2, 2)

for t in [B, A, B * A]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample11.py
11.
⎡⎡0⎤  ⎡0  1⎤⎤
⎢⎢ ⎥  ⎢    ⎥⎥
⎢⎢1⎥  ⎢2  3⎥⎥
⎢⎢ ⎥  ⎢    ⎥⎥
⎢⎣2⎦  ⎣4  5⎦⎥
⎢           ⎥
⎢⎡0⎤  ⎡0  1⎤⎥
⎢⎢ ⎥  ⎢    ⎥⎥
⎣⎣1⎦  ⎣2  3⎦⎦

⎡[0  1]  [0  1  2]⎤
⎢                 ⎥
⎢⎡0  1⎤  ⎡0  1  2⎤⎥
⎢⎢    ⎥  ⎢       ⎥⎥
⎣⎣2  3⎦  ⎣3  4  5⎦⎦

⎡⎡2   3 ⎤  ⎡3   4   5 ⎤⎤
⎢⎢      ⎥  ⎢          ⎥⎥
⎢⎢6   12⎥  ⎢9   15  21⎥⎥
⎢⎢      ⎥  ⎢          ⎥⎥
⎢⎣10  21⎦  ⎣15  26  37⎦⎥
⎢                      ⎥
⎢⎡2  3 ⎤   ⎡3  4   5 ⎤ ⎥
⎢⎢     ⎥   ⎢         ⎥ ⎥
⎣⎣6  12⎦   ⎣9  15  21⎦ ⎦

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