数学 - Python - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 逆関数 - 逆正接関数(埠頭、ボート、ロープ、距離、ロープと水面のなす角の速度の増加率)

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第7章(逆関数)、4(逆正接関数)、練習問題28.を取り組んでみる。

28. 
    

    時間をt秒、人とロープの距離をxメートルとする。

    $\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=-2\\ \\ \sin \theta =\frac{8}{x}\\ \\ \theta =\arcsin \frac{8}{x}\\ \frac{d\theta }{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{8}{x}\right)}^2}}·\frac{-8}{x^2}\\ \\ \frac{d\theta }{dt}=\frac{d\theta }{dx}·\frac{dx}{dt}\\ =\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{8}{x}\right)}^2}}·\frac{-8}{x^2}\left(-2\right)\\ =\frac{8·2}{x^2\sqrt{1-{\left(\frac{8}{x}\right)}^2}}\\ \\ x=20\\ \frac{8·2}{{20}^2\sqrt{1-{\left(\frac{8}{20}\right)}^2}}\\ =\frac{1}{5·5\sqrt{1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^2}}\\ =\frac{5}{5·5\sqrt{5^2-2^2}}\\ =\frac{1}{5\sqrt{25-4}}\\ =\frac{1}{5\sqrt{21}}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3

from sympy import pprint, symbols, asin, Derivative

print('27.')
t, x = symbols('t x')
Θ = asin(8 / x)
Dx = Derivative(Θ, x, 1)
Dt = Dx * (-2)
for t in [Dt, Dt.doit(), Dt.doit().subs({x:20})]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample27.py
27.
   -1     
──────────
d ⎛  6   ⎞
──⎜──────⎟
dΘ⎝sin(Θ)⎠

   2    
sin (Θ) 
────────
6⋅cos(Θ)

$