数学 - Python - 線形代数学 - R^n におけるベクトル – 直線と平面(2平面のなす角の余弦)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、5(直線と平面)、練習問題15.を取り組んでみる。

15. 1. 
       $\begin{array}{l}\left(1,1,1\right)·\left(1,-1,-1\right)=\sqrt{1+1+1}\sqrt{1+1+1}\cos \theta \\ \cos \theta =\frac{1-1-1}{3}\\ =-\frac{1}{3}\end{array}$
    2. 
       $\begin{array}{l}\left(2,3,-1\right)·\left(1,-1,1\right)=\sqrt{4+9+1}\sqrt{1+1+1}\cos \theta \\ \cos \theta =\frac{2-3-1}{\sqrt{14}\sqrt{3}}\\ =-\frac{2}{\sqrt{42}}\end{array}$
    3. 
       $\begin{array}{l}\left(1,2,-1\right)·\left(-1,3,1\right)=\sqrt{1+4+1}\sqrt{1+9+1}\cos \theta \\ \cos \theta =\frac{-1+6-1}{\sqrt{6}·\sqrt{11}}\\ =\frac{4}{\sqrt{66}}\end{array}$
    4. 
       $\begin{array}{l}\left(2,1,1\right)·\left(-1,-1,1\right)=\sqrt{4+1+1}\sqrt{1+1+1}\cos \theta \\ \cos \theta =\frac{-2-1+1}{\sqrt{6}\sqrt{3}}\\ =-\frac{2}{3\sqrt{2}}\\ =-\frac{\sqrt{2}}{3}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('15.')
x = symbols('x')
t = [((1, 1, 1), (1, -1, -1)),
     ((2, 3, -1), (1, -1, 1)),
     ((1, 2, -1), (-1, 3, 1)),
     ((2, 1, 1), (-1, -1, 1))]

for i, (a, b) in enumerate(t):
    print(f'({chr(ord("a") + i)}).')
    A = Matrix(a)
    B = Matrix(b)
    eq = A.dot(B)  - A.norm() * B.norm() * x
    for t in [A.T, B.T, eq, solve(eq)]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample15.py
15.
(a).
[1  1  1]

[1  -1  -1]

-3⋅x - 1

[-1/3]


(b).
[2  3  -1]

[1  -1  1]

-√42⋅x - 2

⎡-√42 ⎤
⎢─────⎥
⎣  21 ⎦


(c).
[1  2  -1]

[-1  3  1]

-√66⋅x + 4

⎡2⋅√66⎤
⎢─────⎥
⎣  33 ⎦


(d).
[2  1  1]

[-1  -1  1]

-3⋅√2⋅x - 2

⎡-√2 ⎤
⎢────⎥
⎣ 3  ⎦


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