数学 - Python - 線型代数 - 線型写像 - 数ベクトルの内積、行列と列ベクトルの積(法則、積、スカラー倍、行列で定まる線型写像、一意性)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、6(数ベクトルの内積、行列と列ベクトルの積)、問題1、2.を取り組んでみる。

1. 
   $\begin{array}{l}c\left(Ax\right)\\ =c\left(\begin{array}{c}{a}^1·x\\ ⋮\\ a^m·x\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{c}c{a}^1·x\\ ⋮\\ c{a}^m·x\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{c}{a}^1·\left(cx\right)\\ ⋮\\ a^m·\left(cx\right)\end{array}\right)\\ =A\left(cx\right)\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}{L}_A\left(e_j\right)=A{e}_j=a_j\\ L_B\left(e_j\right)=B{e}_j=b_j\end{array}$

   行列Aと行列Bは等しくないので、あるjが存在して、ajとbjは等しくない。

   よって、異なる行列A、Bで定まる線型写像はそれぞれ異なる。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, MatrixSymbol

print('1.')
m, n = symbols('m n', integer=True)
A = MatrixSymbol('A', m, n)
x = MatrixSymbol('x', n, 1)
c = symbols('c')
l = A * (c * x)
r = c * (A * x)

print(l == r)

print('2.')
B = MatrixSymbol('B', m, n)
print(A * x == B * x)

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
1.
True
2.
False
$