数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 写像に関する諸概念(和集合、像と逆像、等号)

集合・位相入門

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、4(写像に関する諸概念)、問題1を取り組んでみる。

1. 
   
   • 
     

     bを集合Bの任意の元とする。

     $\begin{array}{l}b\in f\left(P_1\cup P_2\right)\\ \iff \exists a\in A\left[a\in P_1\cup P_2\wedge f\left(a\right)=b\right]\\ \iff \exists a\in A\left[\left(a\in P_1\vee a\in P_2\right)\wedge f\left(a\right)=b\right]\\ \iff \exists a\in A\left[\left(a\in P_1\wedge f\left(a\right)=b\right)\vee \left(a\in P_2\wedge f\left(a\right)=b\right)\right]\\ \iff b\in f\left(P_1\right)\vee b\in f\left(P_2\right)\\ \iff b\in f\left(P_1\right)\cup f\left(P_2\right)\\ \\ f\left(P_1\cup P_2\right)=f\left(P_1\right)\cup f\left(P_2\right)\end{array}$
   • 
     

     aを集合Aの任意の元とする。

     $\begin{array}{l}a\in f^{-1}\left(Q_1\cup Q_2\right)\\ \iff f\left(a\right)\in Q_1\cup Q_2\\ \iff f\left(a\right)\in Q_1\vee f\left(a\right)\in Q_2\\ \iff a\in f^{-1}\left(Q_1\right)\vee a\in f^{-1}\left(Q_2\right)\\ \iff a\in f^{-1}\left(Q_1\right)\cup f^{-1}\left(Q_2\right)\end{array}$