数学 - Python - オイラーの公式とその応用(Euler's Formula & Its Applications) - オイラーの公式(Euler's Formula) - オイラーの公式の応用 - 代数方程式への応用: 1のn乗根(等比級数の和)

オイラーの贈物

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ (吉田 武(著)、東海大学出版会)の第III部(オイラーの公式とその応用(Euler's Formula & Its Applications))、第8章(オイラーの公式(Euler's Formula))、8.2(オイラーの公式の応用)、8.2.2(代数方程式への応用: 1のn乗根)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   $\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{e}^{i\frac{2k\pi }{n}}}\\ ={{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(e^{i\frac{2}{n}\pi }\right)}}^k\\ =\frac{1-{\left(e^{i\frac{2}{n}\pi }\right)}^n}{1-e^{i\frac{2}{n}\pi }}\\ =\frac{1-e^{i2\pi }}{1-e^{i\frac{2}{n}\pi }}\\ =\frac{1-\left(\cos 2\pi +i\sin 2\pi \right)}{1-e^{i\frac{2}{n}\pi }}\\ =\frac{1-\left(1-0\right)}{1-e^{i\frac{2}{n}\pi }}\\ =0\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, pprint, summation, exp, pi, I

print('問題2.')
k, n = symbols('k n', integer=True)
term = exp(I * 2 * k * pi / n)
s = summation(term, (k, 0, n - 1))
for t in [term, s]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
問題2.
 2⋅ⅈ⋅π⋅k
 ───────
    n   
ℯ       

⎧        2⋅ⅈ⋅π    
⎪        ─────    
⎪          n      
⎨n  for ℯ      = 1
⎪                 
⎪0    otherwise   
⎩                 

$