数学 - 線型代数 - 線型写像 - 同型写像(無限次元のベクトル空間の自己同型の一例)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、5(同型写像)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   

   和について。

   $\begin{array}{l}\alpha =\left(a_0,a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots \right)\\ \beta =\left(b_0,b_1,b_2,\cdots ,b_n,\cdots \right)\\ \\ s_0=a_0,s_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{a}_k}\left(n\ge 1\right)\\ t_0=b_0,t_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n{b}_k}\left(n\ge 1\right)\\ \\ u_0=a_0+b_0=s_0+t_0\\ u_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n\left(a_k+b_k\right)}\\ ={\displaystyle \sum _{k=0}^n{a}_k+{\displaystyle \sum _{k=0}^n{b}_k}}\\ =s_n+t_n\left(n\ge 1\right)\\ \\ S\left(\alpha +\beta \right)\\ =S\left(\left(a_0+b_0,a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots ,a_n+b_n,\cdots \right)\right)\\ =\left(u_0,u_1,u_2,\cdots ,u_n,\cdots \right)\\ =\left(s_0+t_0,s_1+t_1,s_2+t_2,\cdots ,s_n+t_n,\cdots \right)\\ =\left(s_0,s_1,s_2,\cdots ,s_n,\cdots \right)+\left(t_0,t_1,t_2,\cdots ,t_n,\cdots \right)\\ =S\left(\alpha \right)+S\left(\beta \right)\end{array}$

   スカラー倍について。

   $\begin{array}{l}\alpha =\left(a_0,a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots \right)\\ c\in ℝ\\ S\left(c\alpha \right)\\ =S\left(\left(c{a}_0,c{a}_1,c{a}_2,\cdots ,c{a}_n,\cdots \right)\right)\\ =\left(c{a}_0,{\displaystyle \sum _{k=0}^{1}c{a}_k},{\displaystyle \sum _{k=0}^{2}c{a}_k},\cdots ,{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c{a}_k},\cdots \right)\\ =\left(c{a}_0,c{\displaystyle \sum _{k=0}^1{a}_k},c{\displaystyle \sum _{k=0}^2{a}_k},\cdots ,c{\displaystyle \sum _{k=0}^n{a}_k},\cdots \right)\\ =c\left(a_0,{\displaystyle \sum _{k=0}^1{a}_k},{\displaystyle \sum _{k=0}^2{a}_k},\cdots ,{\displaystyle \sum _{k=0}^n{a}_k},\cdots \right)\\ =cS\left(\alpha \right)\end{array}$

   よって、Sは線型変換。

   $\begin{array}{l}\alpha \in {ℝ}^{\infty }\\ \alpha =\left(s_0,s_1,s_2,\cdots ,s_n,\cdots \right)\\ a_0=s_0,a_n=s_n-s_{n-1}\left(n\ge 1\right)\\ s_n=s_{n-1}+a_n\left(n\ge 1\right)\\ S\left(\left(a_0,a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots \right)\right)=\left(s_0,s_1,s_2,\cdots ,s_n,\cdots \right)\end{array}$

   よって、Sは全射。

   $\begin{array}{l}\alpha ,\beta \in {ℝ}^{\infty }\\ \alpha =\left(a_0,a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots \right)\\ \beta =\left(b_0,b_1,b_2,\cdots ,b_n,\cdots \right)\\ \\ S\left(\alpha \right)=S\left(\beta \right)\\ \Rightarrow \left(a_0,{\displaystyle \sum _{k=1}^1{a}_k},{\displaystyle \sum _{k=1}^2{a}_k},\cdots ,{\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k},\cdots \right)=\left(b_0,{\displaystyle \sum _{k=1}^1{b}_k},{\displaystyle \sum _{k=1}^2{b}_k},\cdots ,{\displaystyle \sum _{k=1}^n{b}_k},\cdots \right)\\ \Rightarrow a_0=b_0\wedge {\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k}\left(n\ge 1\right)\\ \Rightarrow a_n=b_n\left(n\ge 0\right)\\ \Rightarrow \alpha =\beta \end{array}$

   よって、Sは単射。

   よって、Sは線型写像で全単射なので、同型写像。

   ゆえに、SはR^∞の線型自己同型(R^∞の正則な線型変換。)