数学 - 線型代数 - 線型写像 - 線型写像の像と核(定義域と終域のベクトル空間が同次元の場合、合成写像、全単射、逆写像、同型写像)

線型代数入門

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、9(線型写像の像と核)、問題5.を取り組んでみる。

5. v1、v2をベクトル空間Vの任意の元とする。

   F(v1) = F(v2)とする。

   $\begin{array}{l}G\left(F\left(v_1\right)\right)=G\left(F\left(v_2\right)\right)\\ \left(G\circ F\right)\left(v_1\right)=\left(G\circ F\right)\left(v_2\right)\\ I_V\left(v_1\right)=I_V\left(v_2\right)\\ v_1=v_2\end{array}$

   よって、線型写像Fは単射。

   定理3.20より、Fは同型写像である。

   vをVの任意の元とする。

   $\begin{array}{l}F\left(v\right)\in W\\ G\left(F\left(v\right)\right)\\ =\left(G\circ F\right)\left(v\right)\\ =I_V\left(v\right)\\ =v\end{array}$

   よって、Gは全射。

   ゆえに、定理3.20より、Gは同型写像である。

   vをVの任意の元とする。

   $\begin{array}{l}G\left(F\left(v\right)\right)\\ =\left(G\circ F\right)\left(v\right)\\ =v\end{array}$

   wをWの任意の元とする。

   $\begin{array}{l}G\left(F\left(G\left(w\right)\right)\right)\\ =\left(G\circ F\right)\left(G\left(w\right)\right)\\ =I_V\left(G\left(w\right)\right)\\ =G\left(w\right)\end{array}$

   Gは同型写像、すなわち単射なので次のことが成り立つ。

   $\begin{array}{l}F\left(G\left(w\right)\right)=w\\ \left(F\circ G\right)\left(w\right)=w\end{array}$

   よって、F、Gは互いの他の逆写像となている。(証明終)