数学 - Python - 線形代数学 - ベクトル空間 – 基底(一次独立)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、3(基底)、練習問題1.を取り組んでみる。

1. 1. 
      $\begin{array}{l}a\left(1,1,1\right)+b\left(0,1,-1\right)=O\\ \\ a+b=0\\ a+b=0\\ a-b=0\\ \\ a=b\\ a+a=0\\ 2a=0\\ a=0\\ b=0\end{array}$

      よって問題のベクトルは実数の上でも複素数の上でも1次独立。

   2. 
      $\begin{array}{l}a\left(1,0\right)+b\left(1,1\right)=O\\ \\ a+b=0\\ b=0\\ a=0\end{array}$

      よって問題のベクトルは実数の上でも複素数の上でも1次独立。

   3. 
      $\begin{array}{l}a\left(-1,1,0\right)+b\left(0,1,2\right)=O\\ \\ -a=0\\ a+b=0\\ 2b=0\\ \\ b=0\\ a=0\end{array}$

      よって問題のベクトルは実数の上でも複素数の上でも1次独立。

   4. 
      $\begin{array}{l}a\left(2,-1\right)+b\left(1,0\right)=O\\ \\ 2a+b=0\\ -a=0\\ \\ a=0\\ b=0\end{array}$

      よって問題のベクトルは実数の上でも複素数の上でも1次独立。

   5. 
      $\begin{array}{l}a\left(\pi ,0\right)+b\left(0,1\right)=O\\ \\ \pi a=0\\ b=0\\ \\ a=0\end{array}$

      よって問題のベクトルは実数の上でも複素数の上でも1次独立。

   6. 
      $\begin{array}{l}a\left(1,2\right)+b\left(1,3\right)=O\\ \\ a+b=0\\ 2a+3b=0\\ \\ b=-a\\ 2a-3a=0\\ -a=0\\ a=0\\ b=0\end{array}$

      よって問題のベクトルは実数の上でも複素数の上でも1次独立。

   7. 
      $\begin{array}{l}a\left(1,1,0\right)+b\left(1,1,1\right)+c\left(0,1,-1\right)=O\\ \\ a+b=0\\ a+b+c=0\\ b-c=0\\ \\ 0+c=0\\ c=0\\ b-0=0\\ b=0\\ a+0=0\\ a=0\end{array}$

      よって問題のベクトルは実数の上でも複素数の上でも1次独立。

   8. 
      $\begin{array}{l}a\left(0,1,1\right)+b\left(0,2,1\right)+c\left(1,5,3\right)=O\\ \\ c=0\\ a+2b+5c=0\\ a+b+3c=0\\ \\ a+2b=0\\ a+b=0\\ \\ b=-a\\ a-2a=0\\ -a=0\\ a=0\\ b=0\end{array}$

      よって問題のベクトルは実数の上でも複素数の上でも1次独立。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve, pi

print('7.')
a, b, c = symbols('a b c')
vs = [a * Matrix([1, 1, 1]) + b * Matrix([0, 1, -1]),
      a * Matrix([1, 0]) + b * Matrix([1, 1]),
      a * Matrix([-1, 1, 0]) + b * Matrix([0, 1, 2]),
      a * Matrix([2, -1]) + b * Matrix([1, 0]),
      a * Matrix([pi, 0]) + b * Matrix([0, 1]),
      a * Matrix([1, 2]) + b * Matrix([1, 3]),
      a * Matrix([1, 1, 0]) + b * Matrix([1, 1, 1]) + c * Matrix([0, 1, -1]),
      a * Matrix([0, 1, 1]) + b * Matrix([0, 2, 1]) + c * Matrix([1, 5, 3]),
      a * Matrix([1, 0]) + b * Matrix([2, 0])]

for i, v in enumerate(vs):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    pprint(solve(v))
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
7.
(a)
{a: 0, b: 0}

(b)
{a: 0, b: 0}

(c)
{a: 0, b: 0}

(d)
{a: 0, b: 0}

(e)
{a: 0, b: 0}

(f)
{a: 0, b: 0}

(g)
{a: 0, b: 0, c: 0}

(h)
{a: 0, b: 0, c: 0}

(i)
{a: -2⋅b}

$