数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 写像に関する諸概念(像の逆像、包含関係、等号)

集合・位相入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、4(写像に関する諸概念)、問題2を取り組んでみる。

2. 
   

   xを集合Aの任意の元とする。

   $\begin{array}{l}x\in P\\ \Rightarrow f\left(x\right)\in f\left(P\right)\\ \iff x\in f^{-1}\left(f\left(P\right)\right)\\ \\ f^{-1}\left(f\left(P\right)\right)\supset P\end{array}$

   等号が成り立たない例。

   A = {0, 1}, B = {0, 1}, fをAからBへの写像とし、f(0) = 0, f(1) = 0とする。この時、P = {0}すると、f(P) = {0}、f(P)の逆像は{0, 1}となりの、集合Pとは異なるので、等号は成り立たない。