数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(集合族、和集合、共通部分、直積)

集合・位相入門

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、5(添数づけられた族、一般の直積)、問題5を取り組んでみる。

5. 1. 
      $\begin{array}{l}x\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }}\right)\cap \left({\displaystyle \underset{\mu \in {\rm M}}{\cup }{B}_{\mu }}\right)\\ \iff x\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }}\right)\wedge x\in \left({\displaystyle \underset{\mu \in {\rm M}}{\cup }{B}_{\mu }}\right)\\ \iff \exists \left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times {\rm M}\left[x\in A_{\lambda }\wedge x\in B_{\mu }\right]\\ \iff \exists \left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times {\rm M}\left[x\in A_{\lambda }\cap B_{\mu }\right]\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times {\rm M}}{\cup }\left(A_{\lambda }\cap B_{\mu }\right)}\\ \\ \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }}\right)\cap \left({\displaystyle \underset{\mu \in {\rm M}}{\cup }{B}_{\mu }}\right)={\displaystyle \underset{\left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times {\rm M}}{\cup }\left(A_{\lambda }\cap B_{\mu }\right)}\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}x\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }}\right)\cup \left({\displaystyle \underset{\mu \in {\rm M}}{\cap }{B}_{\mu }}\right)\\ \iff x\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }}\right)\vee x\in \left({\displaystyle \underset{\mu \in {\rm M}}{\cap }{B}_{\mu }}\right)\\ \iff \forall \lambda \in \Lambda \left[x\in A_{\lambda }\right]\vee \forall \mu \in {\rm M}\left[x\in B_{\mu }\right]\\ \iff \forall \left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times {\rm M}\left[x\in A_{\lambda }\vee x\in B_{\mu }\right]\\ \iff \forall \left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times {\rm M}\left[x\in A_{\lambda }\cup B_{\mu }\right]\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times {\rm M}}{\cap }\left(A_{\lambda }\cup B_{\mu }\right)}\\ \\ \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }}\right)\cup \left({\displaystyle \underset{\mu \in {\rm M}}{\cap }{B}_{\mu }}\right)={\displaystyle \underset{\left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times {\rm M}}{\cap }\left(A_{\lambda }\cup B_{\mu }\right)}\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}\left(a,b\right)\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }}\right)\times \left({\displaystyle \underset{\mu \in {\rm M}}{\cup }{B}_{\mu }}\right)\\ \iff a\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }}\right)\wedge b\in \left({\displaystyle \underset{\mu \in {\rm M}}{\cup }{B}_{\mu }}\right)\\ \iff \exists \left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times {\rm M}\left[\left(a,b\right)\in A_{\lambda }\times B_{\mu }\right]\\ \iff \left(a,b\right)\in {\displaystyle \underset{\left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times {\rm M}}{\cup }\left(A_{\lambda }\times B_{\mu }\right)}\\ \\ \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }}\right)\times \left({\displaystyle \underset{\mu \in {\rm M}}{\cup }{B}_{\mu }}\right)={\displaystyle \underset{\left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times {\rm M}}{\cup }\left(A_{\lambda }\times B_{\mu }\right)}\end{array}$
   4. 
      $\begin{array}{l}\left(a,b\right)\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }}\right)\times \left({\displaystyle \underset{\mu \in {\rm M}}{\cap }{B}_{\mu }}\right)\\ \iff a\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }}\right)\wedge b\in \left({\displaystyle \underset{\mu \in {\rm M}}{\cap }{B}_{\mu }}\right)\\ \iff \forall \lambda \in \Lambda \left[a\in A_{\lambda }\right]\wedge \forall \mu \in {\rm M}\left[b\in B_{\mu }\right]\\ \iff \forall \left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times {\rm M}\left[\left(a,b\right)\in A_{\lambda }\times B_{\mu }\right]\\ \iff {\displaystyle \underset{\left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times {\rm M}}{\cap }\left(A_{\lambda }\times B_{\mu }\right)}\\ \\ \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }}\right)\times \left({\displaystyle \underset{\mu \in {\rm M}}{\cap }{B}_{\mu }}\right)={\displaystyle \underset{\left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times {\rm M}}{\cap }\left(A_{\lambda }\times B_{\mu }\right)}\end{array}$