数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 写像に関する諸概念(有限集合、元の個数、全射、単射、全単射が存在するための必要十分条件、単射の総数、順列)

集合・位相入門

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  • Pythonからはじめる数学入門
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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、4(写像に関する諸概念)、問題16、17を取り組んでみる。

16. 
    

    Aの元。

    $a_1,a_2,\cdots ,a_m$

    Bの元。

    $b_1,b_2,\cdots ,b_n$

    m ≤ nのとき、 次のような写像を考えることができる。

    $\begin{array}{l}f:A\to B\\ f\left(a_k\right)=b_k\end{array}$

    以上のことから、m ≤ n であることが単射が存在するための必要時十分条件であることがわかる。

    m ≥ n の場合について、mi > n の場合は単射の場合と同様にAの元をBの元に写し、mi > n については b1 に写す写像を考えれば、m ≥ n が前者が存在するための必要十分条件であることがわかる。

    単射、全射が存在するための必要十分条件を考えれば、m = n のとき、全射、単射、全単射の概念は全て一致する。

17. 
    

    集合A、Bの元を前問16のようにおく。

    集合Aの元a1に対応する集合Bの元の選び方はn通り、元a2に対応する集合Bの元の選び方は、既に選び済みの元を除いた(n - 1)通り、元a3に対応…、元anに対応する集合Bの元の選び方は(n - (m - 1)) = (n - m + 1)通りとなる。

    よって、(n)m = nPm = n(n-1)(n-2)…(n-m+1) となる。