数学 - 解析学 - 距離空間の位相 - 位相の基礎的諸概念(集合の触点であるための必要十分条件、開集合、和集合、空集合、開近傍)

解析入門〈3〉

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  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題4.を取り組んでみる。

4. aを集合Aの任意の触点とする。

   aはAの内点または境界点。

   $a\in A^i\cup A^f$

   Uをaを含むXの任意の開集合とする。

   aがAの内点の場合、aはAに含まれるので、aはUとAの共通部分の点となるので、UとAの共通部分は空集合ではない。

   $\begin{array}{l}a\in U\cap A\\ U\cap A\ne \varphi \end{array}$

   aがAの境界点である場合。

   任意のε > 0 に対して次のことが成り立つ。

   $B\left(a;ϵ\right)\cap A\ne \varphi$

   また、Uはaを含む開集合なので、あるδ > 0 が存在して次のことが成り立つ。

   $B\left(a;\delta \right)\subset U$

   よって、次のことが成り立つ。

   $\begin{array}{l}B\left(a;\delta \right)\subset U\\ B\left(a;\delta \right)\cap A\ne \varphi \\ U\cap A\ne \varphi \end{array}$

   aを含むXの任意の開集合Uに対し、UとAの共通部分は空集合ではないとする。

   $U\cap A\ne \varphi$

   任意のε > 0 に対して、B(a;ε)はXの開集合なので、B(a;ε)とAの共通部分は空集合ではない。

   $B\left(a;ϵ\right)\cap A\ne \varphi$

   よって、aはAの触点である。

   $a\in \overline{A}$

   以上より、距離空間Xの部分集合AとXの任意の点aに対し、aがAの触点であるためには、aを含むXの任意の開集合Uに対して UとAの共通部分が空集合ではないことが必要十分条件である。

   $a\in \overline{A}\iff U\cap A\ne \varphi$

   (証明終)