2017年10月31日火曜日

学習環境

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題4.を取り組んでみる。

  1. aを集合Aの任意の触点とする。

    aはAの内点または境界点。

    a A i A f

    Uをaを含むXの任意の開集合とする。

    aがAの内点の場合、aはAに含まれるので、aはUとAの共通部分の点となるので、UとAの共通部分は空集合ではない。

    aUA UAϕ

    aがAの境界点である場合。

    任意のε > 0 に対して次のことが成り立つ。

    B( a;ϵ )Aϕ

    また、Uはaを含む開集合なので、あるδ > 0 が存在して次のことが成り立つ。

    B( a;δ )U

    よって、次のことが成り立つ。

    B( a;δ )U B( a;δ )Aϕ UAϕ

    aを含むXの任意の開集合Uに対し、UとAの共通部分は空集合ではないとする。

    UAϕ

    任意のε > 0 に対して、B(a;ε)はXの開集合なので、B(a;ε)とAの共通部分は空集合ではない。

    B( a;ϵ )Aϕ

    よって、aはAの触点である。

    a A ¯

    以上より、距離空間Xの部分集合AとXの任意の点aに対し、aがAの触点であるためには、aを含むXの任意の開集合Uに対して UとAの共通部分が空集合ではないことが必要十分条件である。

    a A ¯ UAϕ

    (証明終)

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