数学 - 解析学 - 距離空間の位相 - 位相の基礎的諸概念(単純距離空間、離散空間の開集合と閉集合)

解析入門〈3〉

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  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題3.を取り組んでみる。

3. 1. 問題の単純距離空間をXとし、xをXの任意の点とする。

      $\begin{array}{l}{x}_0\in X-\left\{x\right\}\\ x\ne x_0\\ d\left(x,x_0\right)=1\\ B\left(x_0;\frac{1}{2}\right)=\left\{x_0\right\}\end{array}$

      よって、xはXの集積点ではないので孤立点である。

      $x\notin \overline{X-\left\{x\right\}}$

   2. Xを離散空間とする。

      AをXの任意の部分集合とする。

      aをAの任意の元とする。

      Aがただ１つの元からなる集合の場合。

      $A=B\left(a;\frac{1}{2}\right)$

      xをX任意の元とする。

      $B\left(x;\frac{1}{2}\right)=\left\{x\right\}$

      よって、{x}は開集合。

      AをXの任意の部分集合とする。

      AはXの点の和集合で、Xの任意の点からなる集合は開集合なので、Aも開集合となる。

      また、AはXの部分集合X-Aの補集合、であり、X-AはXの部分集合なので開集合、すなわち、Aは開集合の補集合となるので、Aは閉集合である。

      以上より、離散空間の任意の部分集合は開集合であると同時に閉集合である。(証明終)