2017年10月30日月曜日

学習環境

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題3.を取り組んでみる。

    1. 問題の単純距離空間をXとし、xをXの任意の点とする。

      x 0 X{ x } x x 0 d( x, x 0 )=1 B( x 0 ; 1 2 )={ x 0 }

      よって、xはXの集積点ではないので孤立点である。

      x X{ x } ¯
    2. Xを離散空間とする。

      AをXの任意の部分集合とする。

      aをAの任意の元とする。

      Aがただ1つの元からなる集合の場合。

      A=B( a; 1 2 )

      xをX任意の元とする。

      B( x; 1 2 )={ x }

      よって、{x}は開集合。

      AをXの任意の部分集合とする。

      AはXの点の和集合で、Xの任意の点からなる集合は開集合なので、Aも開集合となる。

      また、AはXの部分集合X-Aの補集合、であり、X-AはXの部分集合なので開集合、すなわち、Aは開集合の補集合となるので、Aは閉集合である。

      以上より、離散空間の任意の部分集合は開集合であると同時に閉集合である。(証明終)

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