2017年10月25日水曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、9(線型写像の像と核)、問題4.を取り組んでみる。

  1. ベクトル空間V、Wの次元をそれぞれm、nとする。

    ベクトル空間V、Wの基底。

    { v 1 ,, v n } { w 1 ,, w m }

    VからWへの写像を次のように定める。

    F:VW F( v k )= w k ( k=1,,n )

    a、bをVの任意の元とする。

    a、bをVの基底によって表す。

    a= a 1 v 1 ++ a n v n b= b 1 v 1 ++ b n v n

    線型性について。

    加法について。

    F( a+b ) =F( ( a 1 v 1 ++ a n v n )+( b 1 v 1 ++ b n v n ) ) =F( ( a 1 + b 1 ) v 1 ++( a n + b n ) v n ) =( a 1 + b 1 ) v 1 ++( a n + b n ) v n = a 1 v 1 ++ a n v n + b 1 v 1 ++ b n v n =F( a )+F( b )

    スカラー倍について。

    F( cv ) =F( c x 1 v 1 ++c x n v n ) =c x 1 w 1 ++c x n w n =c( x 1 w 1 ++ x n w n ) =cF( v )

    よって、Fは線型写像。

    F(a) = F(b) のとき。

    F( a 1 v 1 ++ a n v n )=F( b 1 v 1 ++ b n v n ) a 1 F( v 1 )++ a n F( v n )= b 1 F( v 1 )++ b n F( v n ) a 1 w 1 ++ a n w n = b 1 w 1 ++ b n w n ( a 1 b 1 ) w 1 ++( a n b n ) w n =0 a k = b k ( k=1,,n )

    よって、a = bなので、Fは単射なので dim V ≤ dim W ならば、ベクトル空間Vからベクトル空間Wへの線型単射が存在する。

    VからWへの写像Gを次のように定める。

    vV v= x 1 v 1 ++ x n v n G( v )= x 1 w 1 ++ x m w m

    線型性について。

    加法について。

    a,bV a= a 1 v 1 ++ a n v n b= b 1 v 1 ++ b n v n G( a+b ) =G( a 1 v 1 ++ a n v n + b 1 v 1 ++ b n v n ) =G( ( a 1 + b 1 ) v 1 ++( a n + b n ) v n ) =( a 1 + b 1 ) w 1 ++( a m + b m ) w m = a 1 w 1 ++ a m w m + b 1 w 1 ++ b m w m =G( a )+G( b )

    スカラー倍について。

    G( ca ) =G( c a 1 v 1 ++c a n v n ) =c a 1 w 1 ++c a m w m =c( a 1 w 1 ++ a m w m ) =cG( a )

    よって、Gは線型写像。

    wをWの任意の元とする。

    F( v )= x 1 w 1 ++ x m w m =w

    よって、Gは全射である。

    以上より、dim V ≥ dim W ならば、VからWへの線型全射が存在する。(証明終)

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