数学 - 線型代数 - 線型写像 - 線型写像の像と核(有限次元ベクトル空間、定義域と終域の次元、線型単射、線型全射が存在するための十分条件)

線型代数入門

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参考書籍

線型代数入門(松坂和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、9(線型写像の像と核)、問題4.を取り組んでみる。

ベクトル空間V、Wの次元をそれぞれm、nとする。

ベクトル空間V、Wの基底。
$\begin{array}{l} {v_{1}, \dots, v_{n}} \\ {w_{1}, \dots, w_{m}} \end{array}$
VからWへの写像を次のように定める。
$\begin{array}{l} F : V \to W \\ F (v_{k}) = w_{k} (k = 1, \dots, n) \end{array}$
a、bをVの任意の元とする。

a、bをVの基底によって表す。
$\begin{array}{l} a = a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n} \\ b = b_{1} v_{1} + \dots + b_{n} v_{n} \end{array}$
線型性について。

加法について。
$\begin{array}{l} F (a + b) \\ = F ((a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n}) + (b_{1} v_{1} + \dots + b_{n} v_{n})) \\ = F ((a_{1} + b_{1}) v_{1} + \dots + (a_{n} + b_{n}) v_{n}) \\ = (a_{1} + b_{1}) v_{1} + \dots + (a_{n} + b_{n}) v_{n} \\ = a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n} + b_{1} v_{1} + \dots + b_{n} v_{n} \\ = F (a) + F (b) \end{array}$
スカラー倍について。
$\begin{array}{l} F (c v) \\ = F (c x_{1} v_{1} + \dots + c x_{n} v_{n}) \\ = c x_{1} w_{1} + \dots + c x_{n} w_{n} \\ = c (x_{1} w_{1} + \dots + x_{n} w_{n}) \\ = c F (v) \end{array}$
よって、Fは線型写像。

F(a) = F(b) のとき。
$\begin{array}{l} F (a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n}) = F (b_{1} v_{1} + \dots + b_{n} v_{n}) \\ a_{1} F (v_{1}) + \dots + a_{n} F (v_{n}) = b_{1} F (v_{1}) + \dots + b_{n} F (v_{n}) \\ a_{1} w_{1} + \dots + a_{n} w_{n} = b_{1} w_{1} + \dots + b_{n} w_{n} \\ (a_{1} - b_{1}) w_{1} + \dots + (a_{n} - b_{n}) w_{n} = 0 \\ a_{k} = b_{k} (k = 1, \dots, n) \end{array}$
よって、a = bなので、Fは単射なので dim V ≤ dim W ならば、ベクトル空間Vからベクトル空間Wへの線型単射が存在する。

VからWへの写像Gを次のように定める。
$\begin{array}{l} v \in V \\ v = x_{1} v_{1} + \dots + x_{n} v_{n} \\ G (v) = x_{1} w_{1} + \dots + x_{m} w_{m} \end{array}$
線型性について。

加法について。
$\begin{array}{l} a, b \in V \\ a = a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n} \\ b = b_{1} v_{1} + \dots + b_{n} v_{n} \\ G (a + b) \\ = G (a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n} + b_{1} v_{1} + \dots + b_{n} v_{n}) \\ = G ((a_{1} + b_{1}) v_{1} + \dots + (a_{n} + b_{n}) v_{n}) \\ = (a_{1} + b_{1}) w_{1} + \dots + (a_{m} + b_{m}) w_{m} \\ = a_{1} w_{1} + \dots + a_{m} w_{m} + b_{1} w_{1} + \dots + b_{m} w_{m} \\ = G (a) + G (b) \end{array}$
スカラー倍について。
$\begin{array}{l} G (c a) \\ = G (c a_{1} v_{1} + \dots + c a_{n} v_{n}) \\ = c a_{1} w_{1} + \dots + c a_{m} w_{m} \\ = c (a_{1} w_{1} + \dots + a_{m} w_{m}) \\ = c G (a) \end{array}$
よって、Gは線型写像。

wをWの任意の元とする。
$F (v) = x_{1} w_{1} + \dots + x_{m} w_{m} = w$
よって、Gは全射である。

以上より、dim V ≥ dim W ならば、VからWへの線型全射が存在する。(証明終)

Kamimura's blog

2017年10月25日水曜日

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