数学 - 線形代数学 - ベクトル空間 – 定義(複素数の部分空間、体、部分体、加法、スカラー倍、単位元、逆元)

ラング線形代数学(上)
原著

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、2(定義)、練習問題6.を取り組んでみる。

6. • Lは体、KはLの部分体なので、加法、スカラー倍について閉じている。

     $\begin{array}{l}x,y\in L\\ x+y\in L\\ k\in K\\ kx\in L\end{array}$

   • 1. u、v、wをLの任意の元とする。

        Lは複素数Cの部分集合なので、u、v、wは複素数。

        よって結合法則が成り立つ。

        $\left(u+v\right)+w=u+\left(v+w\right)$

     2. 1と同様に、可換律が成り立つ。

        $v+w=w+v$

     3. Lは体なので0はLの元。

        $v+0=v$

     4. Lは体なので、Lの任意の元vに対して-vはLの元。

        $v-v=0$

     5. cをKの元とする。

        c、v、wは複素数。

        $c\left(v+w\right)=cv+cw$

     6. a、bをKの元とする。

        a、b、vは複素数。

        $(a+b)v=ab+bv$

     7. a、b、vは複素数。

        $(ab)v=a(bv)$

     8. Kは体なので1はKの元。

        $1·v=v$