数学 - Python - 集合と位相 - 集合と写像 - 集合の概念(内包表記、外延的記法)

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、1(集合の概念)、練習問題1、2、3.を取り組んでみる。

2. 
   $\left\{x\in \mathbb{N}|1\le x\le 3\right\}$
3. 1. 
      $\begin{array}{l}{x}^6=1\\ x^6-1=0\\ \left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)=0\\ \left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right)\left(x-x+1\right)=0\\ x=\pm 1,\frac{-1\pm \sqrt{1-4}}{2},\frac{1\pm \sqrt{1-4}}{2}\\ x=\pm 1,\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2},\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}\\ \left\{-1,1,\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\frac{-1-\sqrt{3}i}{2},\frac{1+\sqrt{3}i}{2},\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right\}\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}i{\left(x+i\right)}^4\\ =i\left(x^4+4x^{3}i+6x^2{i}^2+4x{i}^3+i^4\right)\\ =i\left(x^4+4x^{3}i-6x^2-4xi+1\right)\\ =\left(-4x^3+4x\right)+\left(x^4-6x^2+1\right)i\\ x^4-6x^2+1=0\\ x^2=3\pm \sqrt{9-1}\\ x^2=3\pm 2\sqrt{2}\\ x=\pm \left(1\pm \sqrt{2}\right)\\ \left\{-1+\sqrt{2},-1-\sqrt{2},1+\sqrt{2},1-\sqrt{2}\right\}\end{array}$
   3. 
      

      m/nを既約な有理数とする。

      $\begin{array}{l}{y}^3=2\\ {\left(\frac{m}{n}\right)}^3=2\\ m^3=2n^3\\ m=2k\\ m^3=8k\\ 8k=2n^3\\ 4k=n^3\\ n=2l\end{array}$

      m、n共に偶数となり、仮定に反して矛盾。

      $\left\{\right\}=\varphi$
   4. 
      $\begin{array}{l}{2}^{-4}=\frac{1}{16}<0.1\\ 0.1<\frac{1}{8}=2^{-3}\\ 2^6=64\\ 2^7=128\\ \left\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6\right\}\end{array}$
   5. 
      $\begin{array}{l}{i}^0=1\\ i^1=i\\ i^2=-1\\ i^3=-i\\ i^4=1\\ i^5=i\\ i^6=-1\\ \left\{2,6,10,\cdots \right\}\end{array}$
   6. 
      $\begin{array}{l}{i}^{2n}={\left(-1\right)}^n\\ \left\{\right\}=\varphi \end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, solve, I

print('2.')
x = symbols('x', imag=True)
n = symbols('n', integer=True, nonnegative=True)
eqs = [x ** 6 - 1,
       I ** n + 1,
       I ** (2 * n) - I]

for eq in eqs:
    pprint(eq)
    try:
        pprint(solve(eq))
    except Exception as err:
        print(type(err), err)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
2.
 6    
x  - 1
⎡         1   √3⋅ⅈ    1   √3⋅ⅈ  1   √3⋅ⅈ  1   √3⋅ⅈ⎤
⎢-1, 1, - ─ - ────, - ─ + ────, ─ - ────, ─ + ────⎥
⎣         2    2      2    2    2    2    2    2  ⎦

 n    
ⅈ  + 1
<class 'NotImplementedError'> 
No algorithms are implemented to solve equation I**n + 1

 2⋅n    
ⅈ    - ⅈ
[]

$