数学 - Python - 線型代数 - ベクトル空間 - 基底と次元(II)(2次元、ある基底に関する座標)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(ベクトル空間)、8(基底と次元(II))、問5.を取り組んでみる。

5. 
   $\begin{array}{l}{c}_1\left(2,-1\right)+c_2\left(1,3\right)=0\\ \\ 2c_1+c_2=0\\ -c_1+3c_2=0\\ \\ c_2=-2c_1\\ \\ -c_1-6c_1=0\\ -7c_1=0\\ c_1=0\\ c_2=0\end{array}$

   よって、(2, -1)、(1, 3)は一次独立。

   u = (1, 0)の座標。

   $\begin{array}{l}{c}_1\left(2,-1\right)+c_2\left(1,3\right)=\left(1,0\right)\\ \\ 2c_1+c_2=1\\ -c_1+3c_2=0\\ \\ c_2=1-2c_1\\ -c_1+3-6c_1=0\\ c_1=\frac{3}{7}\\ c_2=1-\frac{6}{7}=\frac{1}{7}\\ \left(\frac{3}{7},\frac{1}{7}\right)\end{array}$

   v = (-5, 8)の座標。

   $\begin{array}{l}{c}_1\left(2,-1\right)+c_2\left(1,3\right)=\left(-5,8\right)\\ \\ 2c_1+c_2=-5\\ -c_1+3c_2=8\\ \\ c_2=-5-2c_1\\ -c_1-15-6c_1=8\\ c_1=-\frac{23}{7}\\ c_2=-5+\frac{46}{7}\\ =\frac{11}{7}\\ \left(-\frac{23}{7},\frac{11}{7}\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, solve, Matrix

print('5.')
a = Matrix([2, -1])
b = Matrix([1, 3])
z = Matrix([0, 0])
u = Matrix([1, 0])
v = Matrix([-5, 8])
c1, c2 = symbols('c1 c2', real=True)

eq = c1 * a + c2 * b

pprint(eq)
for w in [z, u, v]:
    pprint(w)
    pprint(solve(eq - w, dict=True))
    print()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample5.py
5.
⎡2⋅c₁ + c₂ ⎤
⎢          ⎥
⎣-c₁ + 3⋅c₂⎦
⎡0⎤
⎢ ⎥
⎣0⎦
[{c₁: 0, c₂: 0}]

⎡1⎤
⎢ ⎥
⎣0⎦
[{c₁: 3/7, c₂: 1/7}]

⎡-5⎤
⎢  ⎥
⎣8 ⎦
[{c₁: -23/7, c₂: 11/7}]

$