数学 - Python - 細分による加法 - 積分法 – 定積分の性質と計算 - 積分と不等式(対数関数、極限、はさみうちの原理)

数学読本〈5〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第19章(細分による加法 - 積分法)、19.3(定積分の性質と計算)、積分と不等式、問38.を取り組んでみる。

38. 
    $\begin{array}{l}1<\frac{\log \left(n+1\right)}{\log n}<\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{1}{i}}}{\log n}<\frac{1}{\log n}+1\\ \underset{n\to \infty }{\lim }1=1\\ \underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{\log n}+1\right)=1\end{array}$

    はさみうちの原理を利用。

    $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{1}{i}}}{\log n}=1$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, summation, log, Limit, oo

print('38.')
k, n = symbols('k n', integer=True)
f = summation(1 / k, (k, 1, n)) / log(n)
l = Limit(f, n, oo)
pprint(l)
try:
    pprint(l.doit())
except Exception as err:
    print(type(err), err)

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample38.py
38.
    ⎛harmonic(n)⎞
lim ⎜───────────⎟
n─→∞⎝   log(n)  ⎠
1
$