数学 - Python - 集合と位相 - 集合と写像 - 集合間の演算(対称差(symmetric difference)、空集合、普遍集合(全体集合)、補集合)

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、2(集合間の演算)、問題8、9を取り組んでみる。

8. 1. 
      $\begin{array}{l}A\Delta \varphi \\ =\left(A\cap {\varphi }^c\right)\cup \left(A^c\cap \varphi \right)\\ =A\cup \varphi \\ =A\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}A\Delta X\\ =\left(A\cap X^c\right)\cup \left(A^c\cap X\right)\\ =\left(A\cap \varphi \right)\cup \left(A^c\cap X\right)\\ =\varphi \cup A^c\\ =A^c\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}A\Delta A\\ =\left(A\cap A^c\right)\cup \left(A^c\cap A\right)\\ =\varphi \cup \varphi \\ =\varphi \end{array}$
   4. 
      $\begin{array}{l}A\Delta A^c\\ =\left(A\cap A\right)\cup \left(A^c\cap A^c\right)\\ =A\cup A^c\\ =X\end{array}$
9. 
   $\begin{array}{l}{A}_1\Delta A_2=B_1\Delta B_2\\ \left(A_1\Delta A_2\right)\Delta B_2=\left(B_1\Delta B_2\right)\Delta B_2\\ A_1\Delta \left(\left(A_1\Delta A_2\right)\Delta B_2\right)=A_1\Delta \left(\left(B_1\Delta B_2\right)\Delta B_2\right)\\ \\ A_1\Delta \left(\left(A_1\Delta A_2\right)\Delta B_2\right)\\ =\left(A_1\Delta \left(A_1\Delta A_2\right)\right)\Delta B_2\\ =\left(\left(A_1\Delta A_1\right)\Delta A_2\right)\Delta B_2\\ =\left(\varphi \Delta A_2\right)\Delta B_2\\ =A_2\Delta B_2\\ \\ A_1\Delta \left(\left(B_1\Delta B_2\right)\Delta B_2\right)\\ =A_1\Delta \left(B_1\Delta \left(B_2\Delta B_2\right)\right)\\ =A_1\Delta \left(B_1\Delta \varphi \right)\\ =A_1\Delta B_1\\ \\ A_1\Delta B_1=A_2\Delta B_2\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from matplotlib_venn import venn3
import matplotlib.pyplot as plt

from sympy import pprint, FiniteSet, Interval

print('8.')

phi = FiniteSet()
X = FiniteSet(*range(7))
A = FiniteSet(*range(5))
B = FiniteSet(*range(1, 6))
XS = [(A, phi, A),
      (A, X, A.complement(X)),
      (A, A, phi),
      (A, A.complement(X), X)]

for X0 in [phi, X, A, B]:
    pprint(X0)

for i, (A0, B0, C0) in enumerate(XS):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    for X0 in [A0, B0, A0.symmetric_difference(B0), C0]:
        pprint(X0)
    print(A0.symmetric_difference(B0) == C0)
    print()

venn3(subsets=(X, A, B), set_labels=('X', 'A', 'C'))
plt.savefig('sample8.svg')

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample8.py
8.
∅
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
{0, 1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4, 5}
(a)
{0, 1, 2, 3, 4}
∅
{0, 1, 2, 3, 4}
{0, 1, 2, 3, 4}
True

(b)
{0, 1, 2, 3, 4}
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
{5, 6}
{5, 6}
True

(c)
{0, 1, 2, 3, 4}
{0, 1, 2, 3, 4}
∅
∅
True

(d)
{0, 1, 2, 3, 4}
{5, 6}
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
True

$