数学 - Python - 解析学 - n次元空間 - ユークリッド空間(内積、ノルムの計算、展開)

解析入門〈2〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈2〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第10章(n次元空間)、10.1(ユークリッド空間)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   $\begin{array}{l}{\left|a+b\right|}^2+{\left|a-b\right|}^2\\ =\left(a+b\right)·\left(a+b\right)+\left(a-b\right)·\left(a-b\right)\\ =a·a+2a·b+b·b+\left(a·a-2a·b+b·b\right)\\ ={\left|a\right|}^2+2a·b+{\left|b\right|}^2+\left({\left|a\right|}^2-2a·b+{\left|b\right|}^2\right)\\ =2\left(\left|a^2\right|+{\left|b\right|}^2\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('1.')
a1, a2, b1, b2 = symbols('a1 a2 b1 b2', real=True)
a = Matrix([a1, a2])
b = Matrix([b1, b2])

expr1 = (a + b).norm() ** 2 + (a - b).norm() ** 2
expr2 = 2 * (a.norm() ** 2 + b.norm() ** 2)
for expr in [expr1, expr2]:
    pprint(expr)
    pprint(expr.factor())
    print()

print(expr1.expand() == expr2.expand())

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample1.py
1.
         2            2            2            2
(a₁ - b₁)  + (a₁ + b₁)  + (a₂ - b₂)  + (a₂ + b₂) 
  ⎛  2     2     2     2⎞
2⋅⎝a₁  + a₂  + b₁  + b₂ ⎠

    2       2       2       2
2⋅a₁  + 2⋅a₂  + 2⋅b₁  + 2⋅b₂ 
  ⎛  2     2     2     2⎞
2⋅⎝a₁  + a₂  + b₁  + b₂ ⎠

True
$