数学 - Python - 線型代数 - 線型写像 - 線型写像の定義と例(写像が線型であるかどうか確認する方法、2次元、3次元、ベクトル)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、3(線型写像の定義と例)、問題3.を取り組んでみる。

3. 1. 
      $F\left(0,0\right)=\left(1,0\right)\ne 0$

      線型写像ではない。

   2. 
      $\begin{array}{l}F\left(\left(x_1,y_1\right)+\left(x_2,y_2\right)\right)\\ =F\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(y_1+y_2,x_1+x_2\right)\\ =\left(y_1,x_1\right)+\left(y_2,x_2\right)\\ =F\left(x_1,y_1\right)+F\left(x_2,y_2\right)\\ \\ F\left(c\left(x,y\right)\right)\\ =F\left(cx,cy\right)\\ =\left(cy,cx\right)\\ =c\left(y,x\right)\\ =cF\left(x,y\right)\end{array}$

      線型写像である。

   3. 
      $\begin{array}{l}F\left(\left(x_1,y_1\right)+\left(x_2,y_2\right)\right)\\ =F\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(\left(x_1+x_2\right),-2\left(y_1+y_2\right),0\right)\\ =\left(x_1,-2y_1,0\right)+\left(x_2,-2y_2,0\right)\\ =F\left(x_1,y_1\right)+F\left(x_2,y_2\right)\\ \\ F\left(c\left(x,y\right)\right)\\ =F\left(cx,cy\right)\\ =\left(cx,-2cy,0\right)\\ =c\left(x,-2y,0\right)\\ =cF\left(x,y\right)\end{array}$

      線型写像である。

   4. 
      $\begin{array}{l}c\ge 0\\ F\left(c\left(x,y\right)\right)\\ =F\left(cx,cy\right)\\ =\left(c^2{x}^2,cy\right)\\ =c\left(c{x}^2,y\right)\\ =c\left({\left(\sqrt{c}x\right)}^2,y\right)\\ =cF\left(\sqrt{c}x,y\right)\end{array}$

      線型写像ではない。

   5. 
      $\begin{array}{l}F\left(\left(x_1,y_1,z_1\right)+\left(x_2,y_2,z_2\right)\right)\\ =F\left(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2\right)\\ =\left(\left(y_1+y_2\right)+\left(z_1+z_2\right),\left(z_1+z_2\right)+\left(x_1+x_2\right)\right)\\ =\left(y_1+z_1,z_1+x_1\right)+\left(y_2+z_2,z_2+x_2\right)\\ =F\left(x_1,y_1,z_1\right)+F\left(x_2,y_2,z_2\right)\\ \\ F\left(c\left(x,y,z\right)\right)\\ =F\left(cx,cy,cz\right)\\ =\left(cy+cz,cz+cx\right)\\ =c\left(y+z,z+x\right)\\ =cF\left(x,y,z\right)\end{array}$

      線型写像である。

   6. 
      $\begin{array}{l}F\left(x+y\right)\\ =a\left(x+y\right)+b\\ =ax+b+ay+b-b\\ =F\left(x\right)+F\left(y\right)-b\\ \\ F\left(cx\right)\\ =acx+b\\ =c\left(ax+b\right)-cb+b\\ =cF\left(x\right)+\left(1-c\right)b\end{array}$

      bが零ベクトルならば線型写像である。そうではない場合は線型写像ではない。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix

fs = [lambda m: Matrix([m[0] + 1, m[1]]),
      lambda m: Matrix([m[1], m[0]]),
      lambda m: Matrix([m[0] ** 2, m[1]])]
x = Matrix(symbols('x1 y1'))
y = Matrix(symbols('x2 y2'))
c = symbols('c')

for f in fs:
    pprint(f)
    pprint(f(x + y) == f(x) + f(y))
    pprint(f(c * x) == c * f(x))
    if f(x + y) == f(x) + f(y) and f(c * x) == c * f(x):
        print('線型')
    else:
        print('線型ではない。')

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
<function <lambda> at 0x103f8cea0>
False
False
線型ではない。
<function <lambda> at 0x10592ef28>
True
True
線型
<function <lambda> at 0x10593a048>
False
False
線型ではない。
$