数学 - Python - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 逆関数 - 逆関数の導関数(多項式、三角関数(正弦、余弦)、2倍角)

解析入門 原書第3版
原著

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• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第7章(逆関数)、2(逆関数の導関数)、練習問題1、2、3、4、5.を取り組んでみる。

1. 
   $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=3x^2\\ x^3+1=2\\ x^3=1\\ x=1\\ g\text{'}\left(2\right)=\frac{1}{f\text{'}\left(1\right)}=\frac{1}{3}\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-3\right)+\left(x-1\right)\left(x-3\right)+\left(x-1\right)\left(x-2\right)\\ =x^2-5x+6+x^2-4x+3+x^2-3x+2\\ =3x^2-12x+11\\ \\ \left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)=6\\ \left(x^2-3x+2\right)\left(x-3\right)=6\\ x^3-6x^2-7x-6=6\\ x\left(x^2-6x-7\right)=0\\ x\left(x-7\right)\left(x+1\right)=0\\ x=-1,0,7\\ g\text{'}\left(6\right)=\frac{1}{12+8+6},\frac{1}{6+3+2},\frac{1}{20+24+30}\\ =\frac{1}{26},\frac{1}{11},\frac{1}{74}\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=2x-1\\ x^2-x+5=7\\ x^2-x-2=0\\ \left(x-2\right)\left(x+1\right)=0\\ x=-1,2\\ g\text{'}\left(7\right)=\frac{1}{-2-1},\frac{1}{4-1}\\ =\pm \frac{1}{3}\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=\cos x-\sin x\\ \sin x+\cos x=-1\\ \sqrt{2}\left(\sin x\frac{1}{\sqrt{2}}+\cos x\sin \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-1\\ \sqrt{2}\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}+\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)=-1\\ \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ x+\frac{\pi }{4}=\frac{5}{4}\pi +2n\pi ,\frac{7}{4}\pi +2n\pi \\ x=\pi +2n\pi ,\frac{3}{2}\pi +2n\pi \\ g\text{'}\left(-1\right)=\frac{1}{\cos \pi -\sin \pi },\frac{1}{\cos \frac{3}{2}\pi -\sin \frac{3}{2}\pi }\\ =\pm 1\end{array}$
5. 
   $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=2\cos 2x\\ \sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ 2x=\frac{1}{3}\pi ,\frac{2}{3}\pi \\ x=\frac{1}{6}\pi ,\frac{1}{3}\pi \\ g\text{'}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{1}{2\cos \frac{1}{3}\pi },\frac{1}{2\cos \frac{2}{3}\pi }\\ =\pm 1\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, solve, Derivative, sin, cos, sqrt, plot

x, y = symbols('x y', real=True)
fs = [(x ** 3 + 1, 2),
      ((x - 1) * (x - 2) * (x - 3), 6),
      (x ** 2 - x + 5, 7),
      (sin(x) + cos(x), -1),
      (sin(2 * x), sqrt(3) / 2)]

for i, (f, y0) in enumerate(fs, 1):
    print(f'({i})')
    pprint(f)
    s = solve(y - f, x)
    for g in s:
        g1 = Derivative(g, y, 1)
        for h in [g1, g1.doit(), g1.doit().subs({y: y0})]:
            pprint(h)
            print()
    p = plot(
        x, f, *map(lambda s0: s0.subs({y: x}), s), show=False, legend=True)

    for j, _ in enumerate(p):
        if j == 0:
            p[j].line_color = 'red'
        elif j == 1:
            p[j].line_color = 'green'
        else:
            p[j].line_color = 'blue'
    p.save(f'sample{i}.svg')
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample1.py
(1)
 3    
x  + 1
d ⎛3 _______⎞
──⎝╲╱ y - 1 ⎠
dy           

     1      
────────────
         2/3
3⋅(y - 1)   

1/3

  ⎛  3 _______        3 _______⎞
d ⎜  ╲╱ y - 1    √3⋅ⅈ⋅╲╱ y - 1 ⎟
──⎜- ───────── - ──────────────⎟
dy⎝      2             2       ⎠

       1             √3⋅ⅈ    
- ──────────── - ────────────
           2/3            2/3
  6⋅(y - 1)      6⋅(y - 1)   

  1   √3⋅ⅈ
- ─ - ────
  6    6  

  ⎛  3 _______        3 _______⎞
d ⎜  ╲╱ y - 1    √3⋅ⅈ⋅╲╱ y - 1 ⎟
──⎜- ───────── + ──────────────⎟
dy⎝      2             2       ⎠

       1             √3⋅ⅈ    
- ──────────── + ────────────
           2/3            2/3
  6⋅(y - 1)      6⋅(y - 1)   

  1   √3⋅ⅈ
- ─ + ────
  6    6  


(2)
(x - 3)⋅(x - 2)⋅(x - 1)
  ⎛                     ____________________________                          
  ⎜                    ╱             ______________                           
  ⎜                   ╱             ╱      2                                  
  ⎜  ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞    ╱     27⋅y   ╲╱  729⋅y  - 108                            
  ⎜  ⎜- ─ - ────⎟⋅3 ╱    - ──── + ─────────────────                           
d ⎜  ⎝  2    2  ⎠ ╲╱        2             2                                   
──⎜- ─────────────────────────────────────────────── + 2 - ───────────────────
dy⎜                         3                                                 
  ⎜                                                                          ╱
  ⎜                                                                         ╱ 
  ⎜                                                        ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞    ╱  
  ⎜                                                        ⎜- ─ - ────⎟⋅3 ╱   
  ⎝                                                        ⎝  2    2  ⎠ ╲╱    

                            ⎞
                            ⎟
                            ⎟
                            ⎟
                            ⎟
    1                       ⎟
────────────────────────────⎟
____________________________⎟
             ______________ ⎟
            ╱      2        ⎟
   27⋅y   ╲╱  729⋅y  - 108  ⎟
 - ──── + ───────────────── ⎟
    2             2         ⎠

  ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞ ⎛       243⋅y          9⎞                     243⋅y          9 
  ⎜- ─ - ────⎟⋅⎜─────────────────── - ─⎟            - ─────────────────── + ─ 
  ⎝  2    2  ⎠ ⎜     ______________   2⎟                   ______________   2 
               ⎜    ╱      2           ⎟                  ╱      2            
               ⎝2⋅╲╱  729⋅y  - 108     ⎠              2⋅╲╱  729⋅y  - 108      
- ────────────────────────────────────── - ───────────────────────────────────
                                  2/3                                         
      ⎛            ______________⎞                      ⎛            _________
      ⎜           ╱      2       ⎟                      ⎜           ╱      2  
      ⎜  27⋅y   ╲╱  729⋅y  - 108 ⎟         ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞ ⎜  27⋅y   ╲╱  729⋅y  -
    3⋅⎜- ──── + ─────────────────⎟         ⎜- ─ - ────⎟⋅⎜- ──── + ────────────
      ⎝   2             2        ⎠         ⎝  2    2  ⎠ ⎝   2             2   

         
         
         
         
         
─────────
      4/3
_____⎞   
     ⎟   
 108 ⎟   
─────⎟   
     ⎠   

             81⋅√6   9            ⎛  9   81⋅√6⎞ ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞
           - ───── + ─            ⎜- ─ + ─────⎟⋅⎜- ─ - ────⎟
               44    2            ⎝  2     44 ⎠ ⎝  2    2  ⎠
- ───────────────────────────── - ──────────────────────────
               4/3 ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞                      2/3    
  (-81 + 33⋅√6)   ⋅⎜- ─ - ────⎟       3⋅(-81 + 33⋅√6)       
                   ⎝  2    2  ⎠                             

  ⎛                     ____________________________                          
  ⎜                    ╱             ______________                           
  ⎜                   ╱             ╱      2                                  
  ⎜  ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞    ╱     27⋅y   ╲╱  729⋅y  - 108                            
  ⎜  ⎜- ─ + ────⎟⋅3 ╱    - ──── + ─────────────────                           
d ⎜  ⎝  2    2  ⎠ ╲╱        2             2                                   
──⎜- ─────────────────────────────────────────────── + 2 - ───────────────────
dy⎜                         3                                                 
  ⎜                                                                          ╱
  ⎜                                                                         ╱ 
  ⎜                                                        ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞    ╱  
  ⎜                                                        ⎜- ─ + ────⎟⋅3 ╱   
  ⎝                                                        ⎝  2    2  ⎠ ╲╱    

                            ⎞
                            ⎟
                            ⎟
                            ⎟
                            ⎟
    1                       ⎟
────────────────────────────⎟
____________________________⎟
             ______________ ⎟
            ╱      2        ⎟
   27⋅y   ╲╱  729⋅y  - 108  ⎟
 - ──── + ───────────────── ⎟
    2             2         ⎠

  ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞ ⎛       243⋅y          9⎞                     243⋅y          9 
  ⎜- ─ + ────⎟⋅⎜─────────────────── - ─⎟            - ─────────────────── + ─ 
  ⎝  2    2  ⎠ ⎜     ______________   2⎟                   ______________   2 
               ⎜    ╱      2           ⎟                  ╱      2            
               ⎝2⋅╲╱  729⋅y  - 108     ⎠              2⋅╲╱  729⋅y  - 108      
- ────────────────────────────────────── - ───────────────────────────────────
                                  2/3                                         
      ⎛            ______________⎞                      ⎛            _________
      ⎜           ╱      2       ⎟                      ⎜           ╱      2  
      ⎜  27⋅y   ╲╱  729⋅y  - 108 ⎟         ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞ ⎜  27⋅y   ╲╱  729⋅y  -
    3⋅⎜- ──── + ─────────────────⎟         ⎜- ─ + ────⎟⋅⎜- ──── + ────────────
      ⎝   2             2        ⎠         ⎝  2    2  ⎠ ⎝   2             2   

         
         
         
         
         
─────────
      4/3
_____⎞   
     ⎟   
 108 ⎟   
─────⎟   
     ⎠   

  ⎛  9   81⋅√6⎞ ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞              81⋅√6   9         
  ⎜- ─ + ─────⎟⋅⎜- ─ + ────⎟            - ───── + ─         
  ⎝  2     44 ⎠ ⎝  2    2  ⎠                44    2         
- ────────────────────────── - ─────────────────────────────
                     2/3                    4/3 ⎛  1   √3⋅ⅈ⎞
      3⋅(-81 + 33⋅√6)          (-81 + 33⋅√6)   ⋅⎜- ─ + ────⎟
                                                ⎝  2    2  ⎠

  ⎛        ____________________________                                       
  ⎜       ╱             ______________                                        
  ⎜      ╱             ╱      2                                               
  ⎜     ╱     27⋅y   ╲╱  729⋅y  - 108                                         
  ⎜  3 ╱    - ──── + ─────────────────                                        
d ⎜  ╲╱        2             2                                1               
──⎜- ────────────────────────────────── + 2 - ────────────────────────────────
dy⎜                  3                              __________________________
  ⎜                                                ╱             _____________
  ⎜                                               ╱             ╱      2      
  ⎜                                              ╱     27⋅y   ╲╱  729⋅y  - 108
  ⎜                                           3 ╱    - ──── + ────────────────
  ⎝                                           ╲╱        2             2       

  ⎞
  ⎟
  ⎟
  ⎟
  ⎟
  ⎟
──⎟
__⎟
_ ⎟
  ⎟
  ⎟
─ ⎟
  ⎠

              243⋅y          9                    243⋅y          9   
       ─────────────────── - ─           - ─────────────────── + ─   
            ______________   2                  ______________   2   
           ╱      2                            ╱      2              
       2⋅╲╱  729⋅y  - 108                  2⋅╲╱  729⋅y  - 108        
- ───────────────────────────────── - ───────────────────────────────
                                2/3                               4/3
    ⎛            ______________⎞      ⎛            ______________⎞   
    ⎜           ╱      2       ⎟      ⎜           ╱      2       ⎟   
    ⎜  27⋅y   ╲╱  729⋅y  - 108 ⎟      ⎜  27⋅y   ╲╱  729⋅y  - 108 ⎟   
  3⋅⎜- ──── + ─────────────────⎟      ⎜- ──── + ─────────────────⎟   
    ⎝   2             2        ⎠      ⎝   2             2        ⎠   

       9   81⋅√6           81⋅√6   9   
     - ─ + ─────         - ───── + ─   
       2     44              44    2   
- ────────────────── - ────────────────
                 2/3                4/3
  3⋅(-81 + 33⋅√6)      (-81 + 33⋅√6)   


(3)
 2        
x  - x + 5
  ⎛    __________    ⎞
d ⎜  ╲╱ 4⋅y - 19    1⎟
──⎜- ──────────── + ─⎟
dy⎝       2         2⎠

    -1      
────────────
  __________
╲╱ 4⋅y - 19 

-1/3

  ⎛  __________    ⎞
d ⎜╲╱ 4⋅y - 19    1⎟
──⎜──────────── + ─⎟
dy⎝     2         2⎠

     1      
────────────
  __________
╲╱ 4⋅y - 19 

1/3


(4)
sin(x) + cos(x)
  ⎛       ⎛   __________    ⎞⎞
  ⎜       ⎜  ╱    2         ⎟⎟
d ⎜       ⎜╲╱  - y  + 2  - 1⎟⎟
──⎜-2⋅atan⎜─────────────────⎟⎟
dy⎝       ⎝      y + 1      ⎠⎠

   ⎛                             __________    ⎞ 
   ⎜                            ╱    2         ⎟ 
   ⎜            y             ╲╱  - y  + 2  - 1⎟ 
-2⋅⎜- ───────────────────── - ─────────────────⎟ 
   ⎜             __________               2    ⎟ 
   ⎜            ╱    2             (y + 1)     ⎟ 
   ⎝  (y + 1)⋅╲╱  - y  + 2                     ⎠ 
─────────────────────────────────────────────────
                                    2            
                 ⎛   __________    ⎞             
                 ⎜  ╱    2         ⎟             
                 ⎝╲╱  - y  + 2  - 1⎠             
             1 + ────────────────────            
                              2                  
                       (y + 1)                   

nan

  ⎛      ⎛   __________    ⎞⎞
  ⎜      ⎜  ╱    2         ⎟⎟
d ⎜      ⎜╲╱  - y  + 2  + 1⎟⎟
──⎜2⋅atan⎜─────────────────⎟⎟
dy⎝      ⎝      y + 1      ⎠⎠

  ⎛                             __________    ⎞
  ⎜                            ╱    2         ⎟
  ⎜            y             ╲╱  - y  + 2  + 1⎟
2⋅⎜- ───────────────────── - ─────────────────⎟
  ⎜             __________               2    ⎟
  ⎜            ╱    2             (y + 1)     ⎟
  ⎝  (y + 1)⋅╲╱  - y  + 2                     ⎠
───────────────────────────────────────────────
                                   2           
                ⎛   __________    ⎞            
                ⎜  ╱    2         ⎟            
                ⎝╲╱  - y  + 2  + 1⎠            
            1 + ────────────────────           
                             2                 
                      (y + 1)                  

nan


(5)
sin(2⋅x)
d ⎛  asin(y)   π⎞
──⎜- ─────── + ─⎟
dy⎝     2      2⎠

      -1       
───────────────
     __________
    ╱    2     
2⋅╲╱  - y  + 1 

-1

d ⎛asin(y)⎞
──⎜───────⎟
dy⎝   2   ⎠

       1       
───────────────
     __________
    ╱    2     
2⋅╲╱  - y  + 1 

1


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