数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 集合の概念(共役複素数、2次の行列、正則行列(可逆行列)、逆行列)

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
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• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、1(集合の概念)、練習問題5を取り組んでみる。

5. 
   $\begin{array}{l}a,b,c,d\in ℂ\\ X,Y\in A\\ X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -\overline{b}& \overline{a}\end{array}\right)\\ Y=\left(\begin{array}{cc}c& d\\ -\overline{d}& \overline{c}\end{array}\right)\\ \\ X+Y\\ =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -\overline{b}& \overline{a}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}c& d\\ -\overline{d}& \overline{c}\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}a+c& b+d\\ -\overline{b}-\overline{d}& \overline{a}+\overline{c}\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}a+c& b+d\\ -\overline{\left(b+d\right)}& \overline{a+c}\end{array}\right)\\ \in A\\ \\ X-Y\\ =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -\overline{b}& \overline{a}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}c& d\\ -\overline{d}& \overline{c}\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}a-c& b-d\\ -\overline{b}+\overline{d}& \overline{a}-\overline{c}\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}a-c& b-d\\ -\overline{\left(b-d\right)}& \overline{a-c}\end{array}\right)\\ \in A\\ \\ XY\\ =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -\overline{b}& \overline{a}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& d\\ -\overline{d}& \overline{c}\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}ac-b\overline{d}& ad+b\overline{c}\\ -\overline{b}c-\overline{a}\overline{d}& -\overline{b}d+\overline{a}\overline{c}\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}ac-b\overline{d}& ad+b\overline{c}\\ -\left(\overline{b}c+\overline{a}\overline{d}\right)& \overline{ac-b\overline{d}}\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}ac-b\overline{d}& ad+b\overline{c}\\ -\left(\overline{ad}+\overline{b}c\right)& \overline{ac-b\overline{d}}\end{array}\right)\\ =\left(\begin{array}{cc}ac-b\overline{d}& ad+b\overline{c}\\ -\left(\overline{ad+b\overline{c}}\right)& \overline{ac-b\overline{d}}\end{array}\right)\end{array}$

   正則行列(可逆行列)について。

   $\begin{array}{l}ac-b\overline{d}=1\\ ad+b\overline{c}=0\\ \\ a\ne 0\\ d=-\frac{b\overline{c}}{a}\\ ac-b\left(-\overline{\frac{b\overline{c}}{a}}\right)=1\\ ac+b·\frac{\overline{b}c}{\overline{a}}=1\\ \left(a+\frac{{\left|b\right|}^2}{\overline{a}}\right)c=1\\ \frac{{\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2}{\overline{a}}c=1\\ c=\frac{\overline{a}}{{\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2}\\ d=-\frac{b}{a}·\overline{\frac{\overline{a}}{{\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2}}=-\frac{b}{{\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2}\\ X^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{\overline{a}}{{\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2}& \frac{b}{{\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2}\\ -\frac{\overline{b}}{{\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2}& \frac{a}{{\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2}\end{array}\right)\\ \\ b\ne 0\\ \overline{c}=-\frac{ad}{b}\\ c=-\overline{\left(\frac{ad}{b}\right)}\\ a\left(-\overline{\left(\frac{ad}{b}\right)}\right)-b\overline{d}=1\\ \left(-\frac{{\left|a\right|}^2}{\overline{b}}-b\right)\overline{d}=1\\ -\frac{{\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2}{\overline{b}}\overline{d}=1\\ \overline{d}=-\frac{\overline{b}}{{\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2}\\ d=-\frac{b}{{\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2}\\ c=-\overline{\left(\frac{a\left(-\frac{b}{{\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2}\right)}{b}\right)}=\frac{\overline{a}}{{\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2}\end{array}$