数学 - 線型代数 - ベクトル空間 - 部分空間(部分空間の定義、R^n次元の部分空間R^{n-1}、実係数のxの多項式全体が作るベクトル空間R[x]の部分空間、次数)

線型代数入門

学習環境

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• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(ベクトル空間)、5(部分空間)、問1、2.を取り組んでみる。

1. 1. 
      $0\in W$
   2. 
      $\begin{array}{l}u,v\in W\\ u=\left(u_1,\cdots ,u_{n-1},0\right)\\ v=\left(v_1,\cdots ,v_{n-1},0\right)\\ u+v\\ =\left(u_1+v_1,\cdots ,u_{n-1}+v_{n-1},0\right)\\ u+v\in W\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}u\in W\\ u=\left(u_1,\cdots ,u_{n-1},0\right)\\ c\in ℝ\\ cu=\left(c{u}_1,\cdots ,c{u}_{n-1},0\right)\\ cu\in W\end{array}$

   よってWは${ℝ}^n$ の部分空間である。

2. 1. 
      $0x^0+0x^1+\cdots +0x^m\in P_m$
   2. 
      $\begin{array}{l}u,v\in P_m\\ u=u_0+u_{1}x+\cdots +u_m{x}^m\\ v=v_0+v_{1}x+\cdots +v_m{x}^m\\ u+v\\ =\left(u_0+v_0\right)+\left(u_1+v_1\right)x+\cdots +\left(u_m+v_m\right)x^m\\ u+v\in P_m\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}u\in P_m\\ u=u_0+u_{1}x+\cdots +u_m{x}^m\\ c\in ℝ\\ cu\\ =c{u}_0+c{u}_{1}x+\cdots +c{u}_m{x}^m\\ cu\in P_m\end{array}$

   よって$P_m$ は$ℝ\left[x\right]$ の部分空間である。