数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 複素整級数(指数関数・三角関数再論)(指数が複素数の場合)

解析入門〈2〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈2〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.3(複素整級数(指数関数・三角関数再論))、問題2.を取り組んでみる。

2. 1. 
      $\begin{array}{l}{e}^{a+bi}\\ =e^a\left(\cos b+i\sin b\right)\\ =e^a\cos b+i{e}^a\sin b\\ e^a\cos b=2\\ e^a\sin b=0\\ e^{2a}\left({\cos }^{2}b+{\sin }^{2}b\right)=4\\ e^{2a}=4\\ e^a=2\\ a=\log 2\\ \cos b=1\\ \sin b=0\\ b=2n\pi \\ z=\log 2+2n\pi i\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}{e}^{ai}=\cos a+i\sin a=-1\\ a=\pi +2n\pi \\ z=\left(\pi +2n\pi \right)i\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}{e}^{ai}=\cos a+i\sin a=i\\ a=\frac{\pi }{2}+2n\pi \\ z=\left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)i\end{array}$
   4. 
      $\begin{array}{l}{e}^{a+bi}\\ =e^a{e}^{bi}\\ =e^a\left(\cos b+i\sin b\right)\\ =e^a\cos b+e^{a}i\sin b\\ e^a\cos b=-1\\ e^a\sin b=-1\\ e^{2a}\left({\cos }^{2}b+{\sin }^{2}b\right)=2\\ e^{2a}=2\\ e^a=\sqrt{2}\\ a=\log \sqrt{2}\\ \cos b=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \sin b=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ b=-\frac{3}{4}\pi \\ z=\log \sqrt{2}+\left(-\frac{3}{4}\pi +2n\pi \right)i\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, exp, solve, I

print('2.')
z = symbols('z')
eqs = [exp(z) - 2,
       exp(z) + 1,
       exp(z) - I,
       exp(z) + 1 + I]

for i, eq in enumerate(eqs, 1):
    print(f'({i})')
    pprint(eq)
    pprint(solve(eq, z))

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample2.py
2.
(1)
 z    
ℯ  - 2
[log(2)]
(2)
 z    
ℯ  + 1
[ⅈ⋅π]
(3)
 z    
ℯ  - ⅈ
⎡ⅈ⋅π⎤
⎢───⎥
⎣ 2 ⎦
(4)
 z        
ℯ  + 1 + ⅈ
[log(-1 - ⅈ)]
$