数学 - Python - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 曲線をえがくこと - 極座標(通常のxおよびy座標に変換)

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第6章(曲線をえがくこと)、4(極座標)、練習問題1、2、3.を取り組んでみる。

1. 通常のxおよびy座標に変換。

   1. 
      $\begin{array}{l}x=2\cos \frac{\pi }{4}\\ =2\frac{1}{\sqrt{2}}\\ =\sqrt{2}\\ y=2\sin \frac{\pi }{4}\\ =\sqrt{2}\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}x=3\cos \frac{\pi }{6}\\ =\frac{3\sqrt{3}}{2}\\ y=3\sin \frac{\pi }{6}\\ =\frac{3}{2}\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}x=1\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\\ y=1\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\\ =-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}$
   4. 
      $\begin{array}{l}x=2\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)\\ =0\\ y=2\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)\\ =-2\end{array}$

2. 通常のxおよびy座標に変換。

   1. 
      $\begin{array}{l}x=1\cos 1\\ =\cos 1\\ y=1\sin 1\\ =\sin 1\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}x=4\cos \left(-3\right)\\ y=4\sin \left(-3\right)\end{array}$
3. 1. 
      $\begin{array}{l}r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\\ \cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \theta =\frac{\pi }{4}\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}r=\sqrt{2}\\ \cos \theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \sin \theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \theta =\frac{5}{4}\pi \end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}r=\sqrt{9+27}\\ =6\\ \cos \theta =\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\ \sin \theta =\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \theta =\frac{\pi }{3}\end{array}$
   4. 
      $\begin{array}{l}r=1\\ \cos \theta =-1\\ \sin \theta =0\\ \theta =\pi \end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, solve, sin, cos, sqrt

print('3.')

Θ = symbols('Θ')
xys = [(1, 1),
       (-1, -1),
       (3, 3 * sqrt(3)),
       (-1, 0)]

for i, (x, y) in enumerate(xys):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    r = sqrt(x ** 2 + y ** 2)
    Θs = solve((cos(Θ) - x / r, sin(Θ) - y / r))
    print('r:')
    pprint(r)
    print('Θ:')
    pprint(Θs)

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample1.py
3.
(a)
r:
√2
Θ:
⎡⎧   π⎫⎤
⎢⎨Θ: ─⎬⎥
⎣⎩   4⎭⎦
(b)
r:
√2
Θ:
⎡⎧   5⋅π⎫⎤
⎢⎨Θ: ───⎬⎥
⎣⎩    4 ⎭⎦
(c)
r:
6
Θ:
⎡⎧   π⎫⎤
⎢⎨Θ: ─⎬⎥
⎣⎩   3⎭⎦
(d)
r:
1
Θ:
[{Θ: π}]
$