数学 - Python - JavaScript - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 曲線をえがくこと - 曲線をえがくこと(有理式、累乗(べき乗、有理数)、三角関数(正弦、余弦)、加法定理、増加・減少する範囲、極大点・極小点、導関数、未定義区間)

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第6章(曲線をえがくこと)、2(曲線をえがくこと)、練習問題41、42、43、44、45.を取り組んでみる。

41. $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3}{\left(x-1\right)}^{-\frac{2}{3}}+\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^{-\frac{1}{3}}\\ =\frac{1}{3}{\left(x-1\right)}^{-\frac{2}{3}}\left(1+{\left(x+1\right)}^{\frac{1}{3}}\right)\\ 1+{\left(x+1\right)}^{\frac{1}{3}}=0\\ {\left(x+1\right)}^{\frac{1}{3}}=-1\\ x+1=-1\\ x=-2\end{array}$

    • 増加する範囲。

      $x<-2$

    • 減少する範囲。

      $-2<x$

    • 極大点。

      $x=-2$

    • 極小点。

42. $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3}{\left(x-1\right)}^{-\frac{2}{3}}-\frac{1}{3}{\left(x+1\right)}^{-\frac{1}{3}}\\ =\frac{1}{3}{\left(x-1\right)}^{-\frac{2}{3}}\left(1-{\left(x+1\right)}^{\frac{1}{3}}\right)\\ 1-{\left(x+1\right)}^{\frac{1}{3}}=0\\ {\left(x+1\right)}^{\frac{1}{3}}=1\\ x+1=1\\ x=0\end{array}$

    • 増加する範囲。

      $x<0$

    • 減少する範囲。

      $0<x$

    • 極大点。

      $x=0$

    • 極小点。

43. $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=\cos x-\sin x\\ \cos x-\sin x=0\\ \cos x=\sin x\\ x=\frac{\pi }{4}+n\pi \end{array}$

    • 増加する範囲。

      $-\frac{3}{4}\pi +2n\pi <x<\frac{1}{4}\pi +2n\pi$

    • 減少する範囲。

      $\frac{1}{4}\pi +2n\pi <x<\frac{5}{4}\pi +2n\pi$

    • 極大点。

      $x=\frac{1}{4}\pi +2n\pi$

    • 極小点。

      $x=\frac{5}{4}\pi +2n\pi$
44. $f\text{'}\left(x\right)=1+\cos x\ge 0$

    • 増加する範囲。

      $ℝ$

    • 減少する範囲。

      $\varphi$

    • 極大点。

    • 極小点。

45. $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=2\cos 2x-2\sqrt{3}\sin 2x\\ =2\left(\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x\right)\\ =4\left(\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x\right)\\ =4\left(\sin \frac{5\pi }{6}\cos 2x+\cos \frac{5}{6}\pi \sin 2x\right)\\ =4\sin \left(\frac{5}{6}\pi +2x\right)\end{array}$

    • 増加する範囲。

      $\begin{array}{l}2n\pi <\frac{5}{6}\pi +2x<\pi +2n\pi \\ -\frac{5}{6}\pi +2n\pi <2x<\frac{1}{6}\pi +2n\pi \\ -\frac{5}{12}\pi +n\pi <x<\frac{1}{12}\pi +n\pi \end{array}$

    • 減少する範囲。

      $\frac{1}{12}\pi +n\pi <x<\frac{7}{12}\pi +n\pi$

    • 極大点。

      $x=\frac{1}{12}\pi +n\pi$

    • 極小点。

      $x=-\frac{5}{12}\pi +n\pi$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, solve, Derivative, Limit, S, plot, sqrt, sin, cos, Rational

x = symbols('x')
fs = [  # (x - 1) ** Rational(1, 3) + Rational(1, 2) * ((x + 1) ** 2) ** Rational(1, 3),
    # (x - 1) ** Rational(1, 3) - Rational(1, 2) *
    # ((x + 1) ** 2) ** Rational(1, 3),
    sin(x) + cos(x),
    x - sin(x),
    sin(2 * x) + sqrt(3) * cos(2 * x)]


for i, f in enumerate(fs, 43):
    print(f'({i})')
    d = Derivative(f, x, 1)
    pprint(d)
    f1 = d.doit()
    pprint(f1)
    pprint(solve(f1))
    for x0 in [S.Infinity, -S.Infinity]:
        l = Limit(f, x, x0)
        pprint(l)
        pprint(l.doit())
    p = plot(f, show=False, legend=True)
    p.save(f'sample{i}.svg')
    print()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample41.py
(43)
d                  
──(sin(x) + cos(x))
dx                 
-sin(x) + cos(x)
⎡-3⋅π   π⎤
⎢─────, ─⎥
⎣  4    4⎦
lim (sin(x) + cos(x))
x─→∞                 
<-2, 2>
 lim (sin(x) + cos(x))
x─→-∞                 
<-2, 2>

(44)
d             
──(x - sin(x))
dx            
-cos(x) + 1
[0, 2⋅π]
lim (x - sin(x))
x─→∞            
∞
 lim (x - sin(x))
x─→-∞            
-∞

(45)
d                         
──(sin(2⋅x) + √3⋅cos(2⋅x))
dx                        
-2⋅√3⋅sin(2⋅x) + 2⋅cos(2⋅x)
⎡π                ⎤
⎢──, -atan(√3 + 2)⎥
⎣12               ⎦
lim (sin(2⋅x) + √3⋅cos(2⋅x))
x─→∞                        
<-1, 1> + √3⋅<-1, 1>
 lim (sin(2⋅x) + √3⋅cos(2⋅x))
x─→-∞                        
<-1, 1> + √3⋅<-1, 1>

$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.001">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-10">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="10">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-10">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="10">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample41.js"></script>    

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let f1 = (x) => (x - 1) ** (1 / 3) + 1 / 2 * ((x + 1) ** 2) ** (1 / 3),
    f2 = (x) => (x - 1) ** (1 / 3) - 1 / 2 * ((x + 1) ** 2) ** (1 / 3);
    
let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        lines = [],
        fns = [[f1, 'green'],
               [f2, 'orange']],
        fns1 = [],
        fns2 = [];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                if (Math.abs(y) < Infinity) {
                    points.push([x, y, color]);
                }
            }
        });                 

    fns2
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;

            for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
                let g = f(x);
                lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =